【題目】已知函數(shù)的最小值為.
⑴設(shè),求證: 在上單調(diào)遞增;
⑵求證: ;
⑶求函數(shù)的最小值.
【答案】⑴見解析⑵見解析⑶見解析
【解析】試題分析:(1)先求導求出,再求導,利用導數(shù)的符號變換得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)由⑴可知在上單調(diào)遞增,再利用零點存在定理及函數(shù)的單調(diào)性進行求解;(3)分離參數(shù),合理構(gòu)造,利用導數(shù)研究函數(shù)的最值.
試題解析:⑴
∵
∴在上單調(diào)遞增
⑵由⑴可知在上單調(diào)遞增
∵
∴存在唯一的零點,設(shè)為,則 且
當時, ;當時,
從而在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減
所以的最小值
∵ ∴ ∴
∴(當且僅當時取等號)
∵ ∴
(第二問也可證明,從而得到)
⑶
同⑴方法可證得在上單調(diào)遞增
∵
∴
∴存在唯一的零點,設(shè)為,則 且
所以的最小值為
∵ ∴
∴,即
由⑵可知
∴=
∵在上單調(diào)遞增
∴
所以的最小值為
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知不等式 >x的解集為(﹣∞,m).
(Ⅰ)求實數(shù)m的值;
(Ⅱ)若關(guān)于x的方程|x﹣n|+|x+ |=m(n>0)有解,求實數(shù)n的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知直線恒過定點.
(Ⅰ)若直線經(jīng)過點且與直線垂直,求直線的方程;
(Ⅱ)若直線經(jīng)過點且坐標原點到直線的距離等于3,求直線的方程.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點A,B,銳角α的終邊與單位圓O交于點P.
(1)用α的三角函數(shù)表示點P的坐標;
(2)當=-時,求α的值;
(3)在x軸上是否存在定點M,使得||=|恒成立?若存在,求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限和所支出的維修費用 (萬元),有如下的統(tǒng)計數(shù)據(jù)由資料知對呈線性相關(guān),并且統(tǒng)計的五組數(shù)據(jù)得平均值分別為,,若用五組數(shù)據(jù)得到的線性回歸方程去估計,使用8年的維修費用比使用7年的維修費用多1.1萬元,
(1)求回歸直線方程;
(2)估計使用年限為10年時,維修費用是多少?
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【題目】已知橢圓的離心率為,左頂點為,過原點且斜率不為0的直線與橢圓交于兩點,其中點在第二象限,過點作軸的垂線交于點.
⑴求橢圓的標準方程;
⑵當直線的斜率為時,求的面積;
⑶試比較與大。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)f(x)的最小值為1,且f(0)=f(2)=3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(x)在區(qū)間[2a,a+1]上不單調(diào),求實數(shù)a的取值范圍;
(3)在區(qū)間[-1,1]上,y=f(x)的圖象恒在y=2x+2m+1的圖象上方,試確定實數(shù)m的范圍.
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