四面體A-BCD中，O，E分別是BD，BC的中點(diǎn)，AC=BC=CD=BD=2，AB=AD=
2

（1）求證：AO⊥平面BCD；
（2）求異面直線AB與CD所成角的余弦值；
（3）求點(diǎn)C到平面AED的距離．
考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計算,異面直線及其所成的角,直線與平面垂直的判定
專題：計算題,證明題,空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析：（1）連接OC，運(yùn)用勾股定理的逆定理，證得AO⊥OC，再由線面垂直的判定定理，即可得證；
（2）取AC中點(diǎn)M，連接OM，ME，OE，又E為BC中點(diǎn)，則ME∥AB，OE∥CD，所以直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成角，運(yùn)用解直角三角形，即可得到；
（3）設(shè)點(diǎn)C到平面AED的距離為h，由VC-AED=VA-CDE，由三棱錐的體積公式，結(jié)合余弦定理和面積公式，即可得到點(diǎn)C到平面AED的距離．
解答： （1）證明：連接OC，已知O為BD中點(diǎn)，
AB=AD=
2
，AC=BC=CD=BD=2，
故AO⊥BD，CO⊥BD，
所以O(shè)A=
AB2-BO2
=1，OC=
3
，在△AOC中，
OA2+OC2=4=AC2，所以∠AOC=90°，則AO⊥OC，
又AO⊥BD，BD∩OC=O，故AO⊥平面BCD．
（2）解：取AC中點(diǎn)M，連接OM，ME，OE，又E為BC中點(diǎn)，則ME∥AB，OE∥CD，
所以直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成角，
在△OME中，EM=
1
2
AB=
2
2
，OE=
1
2
CD=1，
又OM為Rt△AOC的斜邊AC上的中線，故OM=1，
所以cos∠OEM=
2
4
，即異面直線AB與CD所成角的余弦值為
2
4
．          
（3）解：（體積法）設(shè)點(diǎn)C到平面AED的距離為h，因?yàn)閂C-AED=VA-CDE，
即有
1
3
hS△AED=
1
3
AO•S△CDE，又CA=BC=2，AB=
2
，設(shè)AE=x，則由余弦定理有
cos∠ABC=
AB2+BC2-AC2
2AB•BC
=
AB2+BE2-AE2
2AB•BE
，即有AE=
2
，△AED為等腰三角形，
而DE=
3
，等腰三角形△AED底邊上的高為
5
2
，
故△AED的面積為S△AED=
1
2
•DE•
5
2
=
15
4
．
則而AO=1，S△CDE=
1
2
×
3
4
×4=
3
2
，
故h=
2
5
5
，點(diǎn)E到平面ACD的距離為
2
5
5
．
點(diǎn)評：本題考查線面垂直的判定和性質(zhì)及運(yùn)用，考查異面直線所成的角的求法，考查點(diǎn)到平面的距離的求法：體積法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

判斷函數(shù)y=-
1
2
（x-2）2+1在區(qū)間（2，+∞）內(nèi)的單調(diào)性．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下面是關(guān)于公差d＞0的等差數(shù)列{an}的四個命題：
p1：?a1∈R，數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；
P2：?a1∈R，數(shù)列{nan}是遞增數(shù)列；
p3：?a1∈R，使得數(shù)列{n2+an]是遞減數(shù)列；
p4：?a1∈R，使得數(shù)列{
an
n
]是遞減數(shù)列；
其中真命題為（　�。�
A、p1，p2
B、p3，p4
C、p2，p3
D、p1，p4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

三棱錐P-ABC中△PAC是邊長為4的等邊三角形，△ABC為等腰直角三角形，∠ABC=90°，平面PAC⊥面ABC，D、E別為AB、PB的中點(diǎn)．
（1）求證AC⊥PD；
（2）求三棱錐P-CDE與三棱錐P-ABC的體積之比．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若數(shù)列{an]滿足an2-an-12=p（p為常數(shù)，n≥2，n∈N*），則稱數(shù)列{an}為等方數(shù)列，p為公方差，已知正數(shù)等方數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1且a1，a2，a5成等比數(shù)列，a1≠a2，設(shè)集合A={Tn|Tn=
1
a1+a2
+
1
a2+a3
+…+
1
an+an+1
，1≤n≤100，n∈N*}，取A的非空子集B，若B的元素都是整數(shù)，則B為“夢幻子集”，那么集合A中的“夢幻子集”的個數(shù)為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)橢圓方程
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離和為4，過焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，AB=2．
（1）求橢圓方程；
（2）若M，N是橢圓C上的點(diǎn)，且直線OM與ON的斜率之積為-
1
2
，是否存在動點(diǎn)P（x1，y1），若
OP
=
OM
+2
ON
，有x12+2y12為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）的定義域?yàn)锳，若x1，x2∈A且f（x1）=f（x2）時總有x1=x2，則稱f（x）為單函數(shù)，例如，函數(shù)f（x）=x+1（x∈R）是單函數(shù)，下列命題：
①函數(shù)f（x）=x2-2x（x∈R）是函數(shù)；
②若f（x）=
log2x，x≥2
x-1，x＜2
是單函數(shù)；
③若f（x）為單函數(shù)，x1，x2∈A且x1≠x2，則f（x1）≠f（x2）；
④若函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)某個區(qū)間D上具有單調(diào)性，則f（x）一定是單函數(shù)．
其中真命題是
 
（寫出所有真命題的編號）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直線l⊥平面α，直線m?平面β，則下列四個命題正確的是（　�。�
①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β．
A、②④B、①②C、③④D、①③

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合A={x|x2-5x+6=0}，B={x|ax+2=0}，且B∩∁RA=∅，則實(shí)數(shù)a的所有取值組成的集合為（　�。�
A、{0，-1，-
2
3
}
B、{-1，-
2
3
}
C、{1，
2
3
}
D、{
2
3
}

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同步練習(xí)冊答案