【題目】已知函數(shù)

)當時,求曲線在點處的切線方程;

)當時,試討論函數(shù)的單調(diào)性;

)設斜率為的直線與函數(shù)的圖象交于兩點,證明:

【答案】(I;(II時,,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,時,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,時,上單調(diào)遞增;(III證明見解析.

【解析】

試題分析:I時,,根據(jù),,求得切線方程為;II定義域,求導得,由得,,,對分成類,結(jié)合函數(shù)圖像進行分類討論的單調(diào)區(qū)間III先用分析法分析,要證,即證,,即證,),即證),令利用導數(shù)可證明上述不等式成立.

試題解析:

(Ⅰ)依題意得,,,

則曲線在點處的切線方程為.

(Ⅱ)∵函數(shù)的定義域為,

,

時,由得,,,

時,,由得,,或;由得,,所以上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減……6

時,,由得,,或;由得,,

所以,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減

時,,在上,,

所以上單調(diào)遞增.

綜上,時,,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;

時,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;

時,上單調(diào)遞增.

(Ⅲ)依題意得,

要證,即證,

,即證,

),即證),

)則,

在(1,+)上單調(diào)遞增,

=0,即)①

同理可證:

綜①②得),即

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