Question

已知圓C：x²+y²-2x+4y-4=0，直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）若直線l過(guò)點(diǎn)M（4，0），且|AB|=2

5

，求直線l的方程；
（Ⅱ）若直線l的斜率為l，且以弦AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專(zhuān)題：直線與圓

分析：（Ⅰ）由題設(shè)知直線l的斜率存在，用點(diǎn)斜式設(shè)出設(shè)其方程，由題意可得圓心到直線l的距離為2，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求得k的值，可得直線的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=x+b，代入圓的方程，利用韋達(dá)定理求得x₁+x₂ 和x₁•x₂的值，根據(jù)

OA

•

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂=0，解得b的值，可得直線l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）由題設(shè)知直線l的斜率存在，設(shè)其方程為y=k（x-4），即kx-y-4k=0．
圓C：即（x-1）²+（y+2）²=9，圓心C（1，-2），半徑為3．
由|AB|=2

5

，知圓心到直線l的距離為

9-( 5 )2

=2，
于是

|k+2-4k|

k2+1

=2，整理得5k²-12k=0，解得，k=0或k=

12

5

．
所以直線l的方程為y=0 或12x-5y-48=0．
（Ⅱ）由直線l的斜率為l，設(shè)直線l的方程為y=x+b．
由

x2+y2-2x+4y-4=0 y=x+b

  得 2x²+2（b+1）x+b²+4b-4=0．
令△=4（b+1）²-8（b²+4b-4）＞0，解得-3-3

2

＜b＜-3+3

2

．
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則 x₁+x₂=-（b+1），x₁•x₂=

b2+4b-4

2

．
因?yàn)橐訟B為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，所以

OA

⊥

OB

．
所以

OA

•

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂=2x₁•x₂+b（x₁+x₂）+b²=0，
化簡(jiǎn)可得 b²+3b-4=0，解得b=1或b=-4，
故直線l的方程為y=x+1或y=x-4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和圓相交的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．