Question

如圖，四棱錐中,，底面為梯形，，，且.（10分）

（1）求證：;
（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）證明見解析；（2）二面角的余弦值為．

試題分析：（1）連結,交于點,連結，由所給條件可得，即，則；（2）以為原點，所在直線分別為軸、軸，如圖建立空間直角坐標系.
設，則可得坐標，設為平面的一個法向量，由
，可得，同理為平面的一個法向量，， 知二面角的余弦值.
試題解析：（1）連結,交于點,連結， ∵，， ∴
又 ∵, ∴∴ 在△BPD中，
   ∴∥平面----------------4分

（2）方法一：以為原點，所在直線分別為軸、軸，如圖建立空間直角坐標系.

設，則，，，，．
設為平面的一個法向量，
則，，∴，
解得，∴．
設為平面的一個法向量，則，，
又，，∴，
解得，∴  
∴二面角的余弦值為．-------------------10分
方法二：在等腰Rt中，取中點，連結，則 

∵面⊥面，面面=，∴平面．
在平面內(nèi)，過作直線于，連結，由、，
得平面，故．
∴就是二面角的平面角．
在中，設，，，
，，
由，可知：∽，
∴，  代入解得：．
在中，，
∴，．
∴二面角的余弦值為．