A. | ($\frac{2}{π}$,2] | B. | (-∞,$\frac{2}{π}$)∪[2,+∞) | C. | [-$\frac{1}{2}$,$\frac{2}{π}$) | D. | (-∞,-$\frac{1}{2}$]∪($\frac{2}{π}$,+∞) |
分析 若y=f(x)僅有一個零點,則函數g(x)=sinx(cosx+1)的圖象與y=ax的圖象有且僅有一個交點,畫出函數的圖象,數形結合,可得答案.
解答 解:令g(x)=sinx(cosx+1),
則g′(x)=(2cosx-1)(cosx+1),
當x∈[-$\frac{π}{2}$,-$\frac{π}{3}$)時,g′(x)<0,g(x)為減函數,
當x∈(-$\frac{π}{3}$,$\frac{π}{3}$)時,g′(x)>0,g(x)為增函數,
當x∈($\frac{π}{3}$,$\frac{π}{2}$]時,g′(x)<0,g(x)為減函數,
故g(x)=sinx(cosx+1)的圖象如下圖所示:
當x=±$\frac{π}{2}$時,g(x)=±1,此時a=$\frac{2}{π}$,
當x=0時,g′(x)=2,
若y=f(x)僅有一個零點,
則函數g(x)=sinx(cosx+1)的圖象與y=ax的圖象有且僅有一個交點,
由圖可得:a∈(-∞,$\frac{2}{π}$)∪[2,+∞),
故選:B
點評 本題考查的知識點是利用導數研究函數的單調性,函數的零點與函數圖象交點的關系,難度中檔.
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
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