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8.已知定義在[-$\frac{π}{2}$,$\frac{π}{2}$]的函數f(x)=sinx(cosx+1)-ax,若y=f(x)僅有一個零點,則實數a的取值范圍是( 。
A.($\frac{2}{π}$,2]B.(-∞,$\frac{2}{π}$)∪[2,+∞)C.[-$\frac{1}{2}$,$\frac{2}{π}$)D.(-∞,-$\frac{1}{2}$]∪($\frac{2}{π}$,+∞)

分析 若y=f(x)僅有一個零點,則函數g(x)=sinx(cosx+1)的圖象與y=ax的圖象有且僅有一個交點,畫出函數的圖象,數形結合,可得答案.

解答 解:令g(x)=sinx(cosx+1),
則g′(x)=(2cosx-1)(cosx+1),
當x∈[-$\frac{π}{2}$,-$\frac{π}{3}$)時,g′(x)<0,g(x)為減函數,
當x∈(-$\frac{π}{3}$,$\frac{π}{3}$)時,g′(x)>0,g(x)為增函數,
當x∈($\frac{π}{3}$,$\frac{π}{2}$]時,g′(x)<0,g(x)為減函數,
故g(x)=sinx(cosx+1)的圖象如下圖所示:

當x=±$\frac{π}{2}$時,g(x)=±1,此時a=$\frac{2}{π}$,
當x=0時,g′(x)=2,
若y=f(x)僅有一個零點,
則函數g(x)=sinx(cosx+1)的圖象與y=ax的圖象有且僅有一個交點,
由圖可得:a∈(-∞,$\frac{2}{π}$)∪[2,+∞),
故選:B

點評 本題考查的知識點是利用導數研究函數的單調性,函數的零點與函數圖象交點的關系,難度中檔.

練習冊系列答案
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