Question

10．設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x+1，x≤0}\\{{e}^{x}，x＞0}\end{array}\right.$，則滿足f（f（m））＞f（m）+1的m的取值范圍是（　�。�

• A． $（{-\frac{1}{2}，+∞}）$
• B． ）（0，+∞）
• C． （-1，+∞）
• D． .$（{-\frac{1}{3}，+∞}）$

Answer 1

分析 由已知分m≤0和m＞0分別求出f（m），進(jìn)一步得到f（f（m）），代入f（f（m））＞f（m）+1，由導(dǎo)數(shù)可得：當(dāng)x＞0時(shí)，e^x＞x+1，結(jié)合該式即可求得滿足f（f（m））＞f（m）+1的m的取值范圍．

解答 解：當(dāng)m≤0時(shí)，f（m）=2m+1∈（-∞，1]，
若2m+1≤0，即m$≤-\frac{1}{2}$，則f（f（m））＞f（m）+1?2（2m+1）+1＞2m+1+1，即m＞-$\frac{1}{2}$（舍）；
若2m+1＞0，即m$＞-\frac{1}{2}$，則f（f（m））＞f（m）+1?e^2m+1＞2m+1+1，
令g（x）=e^x-x-1，g′（x）=e^x-1，當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，則g（x）＞g（0）=0，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，e^x＞x+1，故e^2m+1＞2m+1+1成立，∴-$\frac{1}{2}＜m≤0$；
當(dāng)m＞0時(shí)，f（m）=e^m＞0，則f（f（m））＞f（m）+1?${e}^{{e}^{m}}$＞e^m+1，
令t=e^m（t＞1），則e^t＞t+1，
∵當(dāng)x＞0時(shí)，e^x＞x+1成立，∴e^t＞t+1恒成立，則m＞0時(shí)不等式f（f（m））＞f（m）+1成立．
綜上，滿足f（f（m））＞f（m）+1的m的取值范圍是（-$\frac{1}{2}$，+∞）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了恒成立問題的求解方法，是中檔題．