Question

15．設(shè){a_n}是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，S_n為其前n項和，且滿足3S₄=2S₅，a₅+2是a₃，a₁₂的等比中項．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）若數(shù)列{b_n}滿足$\frac{b_1}{a_1}+\frac{b_2}{a_2}+…+\frac{b_n}{a_n}={3^{n+1}}-3（{n∈{N^*}}）$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （I）設(shè)單調(diào)遞增的等差數(shù)列{a_n}的公差為d＞0，由3S₄=2S₅，a₅+2是a₃，a₁₂的等比中項，可得$3（4{a}_{1}+\frac{4×3}{2}d）$=$2（5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d）$，$（{a}_{1}+4d+2）^{2}$=（a₁+2d）（a₁+11d），聯(lián)立解得a₁，d，即可得出．
（II）由數(shù)列{b_n}滿足$\frac{b_1}{a_1}+\frac{b_2}{a_2}+…+\frac{b_n}{a_n}={3^{n+1}}-3（{n∈{N^*}}）$，n≥2時，$\frac{_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{_{2}}{{a}_{2}}$+…+$\frac{_{n-1}}{{a}_{n-1}}$=3ⁿ-3，相減可得：$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=2×3ⁿ．
當(dāng)n=1時，a₁=2，b₁=12，上式也成立．再利用錯位相減法與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（I）設(shè)單調(diào)遞增的等差數(shù)列{a_n}的公差為d＞0，∵3S₄=2S₅，a₅+2是a₃，a₁₂的等比中項，
∴$3（4{a}_{1}+\frac{4×3}{2}d）$=$2（5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d）$，$（{a}_{1}+4d+2）^{2}$=（a₁+2d）（a₁+11d），聯(lián)立解得a₁=2=d，
∴a_n=2+2（n-1）=2n．
（II）由數(shù)列{b_n}滿足$\frac{b_1}{a_1}+\frac{b_2}{a_2}+…+\frac{b_n}{a_n}={3^{n+1}}-3（{n∈{N^*}}）$，
∴n≥2時，$\frac{_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{_{2}}{{a}_{2}}$+…+$\frac{_{n-1}}{{a}_{n-1}}$=3ⁿ-3，相減可得：$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=2×3ⁿ．
∴b_n=4n×3ⁿ．
當(dāng)n=1時，a₁=2，b₁=2×（3²-3）=12，上式也成立．
∴b_n=4n×3ⁿ．
∴數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=4[3+2×3²+…+（n-1）•3^n-1+n•3ⁿ]，
3T_n=4[3²+2×3³+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹]，
∴-2T_n=4（3+3²+…+3ⁿ-n×3ⁿ⁺¹）=4×$[\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}-n×{3}^{n+1}]$，
∴T_n=（2n-1）•3ⁿ⁺¹+3．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式求和公式及其性質(zhì)、錯位相減法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．