Question

10．?dāng)?shù)列{a_n}、{b_n}滿足：a_n+b_n=2n-1，n∈N^*．
（1）若{a_n}的前n項和S_n=2n²-n，求{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）若a_n=k•2^n-1，n∈N^*，數(shù)列{b_n}是單調(diào)遞減數(shù)列，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)當(dāng)n≥2時a_n=S_n-S_n-1進行求解即可得{a_n}、{b_n}的通項公式；
．（2）根據(jù)a_n+b_n=2n-1，求出b_n=2n-1-k•2^n-1，利用b_n}是單調(diào)遞減數(shù)列，建立不等式，利用參數(shù)分離法進行求解即可．

解答 解：（1）當(dāng)n≥2時a_n=S_n-S_n-1=2n²-n-2（n-1）²+（n-1）=4n-3，
當(dāng)n=1時，a₁=S₁=2-1=1，滿足a_n=4n-3，
∴a_n=4n-3，
∵a_n+b_n=2n-1，
∴b_n=2n-1-a_n=2n-1-4n+3=-2n+2．
（2）若a_n=k•2^n-1，
則由a_n+b_n=2n-1得b_n=2n-1-a_n=2n-1-k•2^n-1，
∵數(shù)列{b_n}是單調(diào)遞減數(shù)列，
∴b_n+1＜b_n，
即2（n+1）-1-k•2ⁿ＜2n-1-k•2^n-1，
即2＜k•2ⁿ-k•2^n-1=k•2^n-1，
即$k＞\frac{2}{{{2^{n-1}}}}$，恒成立，
∵$\frac{2}{{2}^{n-1}}$在n≥1時為減函數(shù)，
∴當(dāng)n=1時，函數(shù)取得最大值為2，
即k＞2．

點評 本題主要考查數(shù)列通項公式的求解，根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．