Question

已知集合A={1，2，3，…，2n}（n∈N^*）．對(duì)于A的一個(gè)子集S，若S滿(mǎn)足性質(zhì)P：“存在不大于n的正整數(shù)m，使得對(duì)于S中的任意一對(duì)元素s₁，s₂，都有|s₁-s₂|≠m”，則稱(chēng)S為理想集．對(duì)于下列命題：
①當(dāng)n=10時(shí)，集合B={x∈A|x＞9}是理想集；
②當(dāng)n=10時(shí)，集合C={x∈A|x=3k-1，k∈N^*}是理想集；
③當(dāng)n=1 000時(shí)，集合S是理想集，那么集合T={2 001-x|x∈S}也是理想集．
其中的真命題是______（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）．

Answer 1

①當(dāng)n=10時(shí)，集合A={1，2，3，…，19，20}，B={x∈A|x＞9}={10，11，12，…，19，20}不具有性質(zhì)P，因?yàn)閷?duì)任意不大于10的正整數(shù)m，
  都可以找到該集合中兩個(gè)元素b₁=10與b₂=10+m，使得|b₁-b₂|=m成立．所以①錯(cuò)誤．
②集合C={x∈A|x=3k-1，k∈N^*}具有性質(zhì)P．因?yàn)榭扇�m=1＜10，對(duì)于該集合中任意一對(duì)元素c₁=3k₁-1，c₂=3k₂-1，k₁，k₂∈N^*
都有|c₁-c₂|=3|k₁-k₂|≠1．所以②正確．
③當(dāng)n=1000時(shí)，則A={1，2，3，…，1999，2000}，若集合S具有性質(zhì)P，那么集合T={2001-x|x∈S}一定具有性質(zhì)P．

因?yàn)門(mén)={2001-x|x∈S}，任取t=2001-x₀∈T，其中x₀∈S，
因?yàn)镾⊆A，所以x₀∈{1，2，3，…，2000}，
從而1≤2001-x₀≤2000，即t∈A，所以T⊆A．
由S具有性質(zhì)P，可知存在不大于1000的正整數(shù)m，
使得對(duì)S中的任意一對(duì)元素s₁，s₂，都有|s₁-s₂|≠m．
對(duì)于上述正整數(shù)m，從集合T={2001-x|x∈S}中任取一對(duì)元素t₁=2001-x₁，t₂=2001-x₂，其中x₁，x₂∈S，
則有|t₁-t₂|=|x₁-x₂|≠m，
所以集合T={2001-x|x∈S}具有性質(zhì)P．所以③正確．
故答案為：②③．