Question

13．已知兩圓x²+y²=1和（x-1）²+（y-1）²=1．求：
（1）兩圓的公共弦所在直線的方程；
（2）公共弦所在直線被圓C：x²+y²-2x-2y-$\frac{17}{4}$=0所截得的弦長．

Answer 1

分析 （1）將兩圓的方程相減，化簡后兩圓的公共弦所在直線方程；
（2）將圓C化為標準式方程，求出圓心坐標和半徑，由點到直線的距離公式，求出圓心C到直線x+y-1=0的距離，由弦長公式求得弦長．

解答 解：∵兩圓方程是：x²+y²=1和（x-1）²+（y-1）²=1，
兩個圓的方程相減得2x+2y-2=0，
∴兩圓公共弦所在直線方程為x+y-1=0；
（2）將圓C：x²+y²-2x-2y-$\frac{17}{4}$=0化為：（x-1）²+（y-1）²=$\frac{25}{4}$，
∴圓心C的坐標是（1，1），半徑是$\frac{5}{2}$，
∴圓心C（1，1）到直線x+y-1=0的距離d=$\frac{|1+1-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴所求弦長為2 $\sqrt{（\frac{5}{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{23}$．

點評 本題考查兩圓的公共弦方程的求法，點到直線的距離公式，以及弦長公式的應用，考查了化簡、計算能力．