Question

已知三次函數(shù)f(x)=

a

3

x3+

b

2

x2+cx+d(2a＜b)在R上單調(diào)遞增，則

a+b+c

b-2a

的最小值為

4

．

Answer 1

分析：函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，則有f′（x）≥0恒成立，得到關(guān)于a，b，c的條件，把

a+b+c

b-2a

中的c用a，b表示，再運(yùn)用基本不等式可求f（x）的最小值．

解答：解：f′（x）=ax²+bx+c，
因?yàn)槿�次函�?shù)f(x)=

a

3

x3+

b

2

x2+cx+d(2a＜b)在R上單調(diào)遞增，
所以f′（x）=ax²+bx+c≥0恒成立，則有

a＞0 b2-4ac≤0

，所以c≥

b2

4a

．
則

a+b+c

b-2a

≥

a+b+ b2 4a

b-2a

=

(2a+b)2

4a(b-2a)

=

[(b-2a)+4a]2

4a(b-2a)

≥

[2 (b-2a)4a ]2

4a(b-2a)

=4，當(dāng)且僅當(dāng)b-2a=4a，即b=6a時(shí)取“=”號(hào)．
所以

a+b+c

b-2a

的最小值為4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及基本不等式求最值問(wèn)題，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，屬綜合題．