Question

已知函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的函數(shù)，對(duì)任意的x₁，x₂，當(dāng)x₁，x₂（x₁≠x₂）都在（0，+∞）時(shí)總有（x₁-x₂）（f（x₁）-f（x₂））＜0，并滿足f（xy）=f（x）+f（y），f（

1

3

）=1．
（1）求f（1）的值；
（2）求證：f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
（3）如果f（x）+f（2-x）＜2，求x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由f（xy）=f（x）+f（y），可令x=y=1，即可得到f（1）；
（2）由于對(duì)任意的x₁，x₂，當(dāng)x₁，x₂（x₁≠x₂）都在（0，+∞）時(shí)，總有（x₁-x₂）（f（x₁）-f（x₂））＜0，即x₁＜x₂時(shí)，總有f（x₁）＞f（x₂）成立，由單調(diào)性的定義，即可得證；
（3）由于f（xy）=f（x）+f（y），f（

1

3

）=1．則f（

1

9

）=2f（

1

3

）=2．再由函數(shù)的單調(diào)性，即可解出不等式
f（x）+f（2-x）＜2，注意定義域．

解答： （1）解：由f（xy）=f（x）+f（y），
可令x=y=1，則f（1）=f（1）+f（1），
即有f（1）=0；
（2）證明：由于對(duì)任意的x₁，x₂，當(dāng)x₁，x₂（x₁≠x₂）都在（0，+∞）時(shí)，
總有（x₁-x₂）（f（x₁）-f（x₂））＜0，
即x₁＜x₂時(shí)，總有f（x₁）＞f（x₂）成立，
則f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
（3）解：由于f（xy）=f（x）+f（y），f（

1

3

）=1．
則f（

1

9

）=2f（

1

3

）=2．
則f（x）+f（2-x）＜2即為f[x（2-x）]＜f（

1

9

），
由f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
則

x＞0 2-x＞0 x(2-x)＞ 1 9

即有

x＞0 x＜2 3-2 2 3 ＜x＜ 3+2 2 3

，
則

3-2 2

3

＜x＜

3+2 2

3

．
故x的取值范圍是（

3-2 2

3

，

3+2 2

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性及運(yùn)用：解不等式，注意定義域，考查運(yùn)算能力．