設(shè)x∈N滿足(
1+x
x
)2013
2014
2013
.?dāng)?shù)列a1,a2,…,a2013是公差為x2013,首項a1=(x+1)2x2012-1的等差數(shù)列; 數(shù)列b1,b2,…,b2013是公比為
1+x
x
,首項b1=(x+1)x2013的等比數(shù)列,求證:b1<a1<b2<…<a2012<b2013
分析:確定數(shù)列的通項,利用歸納法證明 ai-bix2013
2014-i
2013
, 1≤i≤2013
,再證明歸納證明bi+1>ai,i=1,2,…,2012,即可得到結(jié)論.
解答:證明:首先,ai=(x+1)2x2012-1+(i-1)x2013,-----------------(2分)
bi=(x+1)x2013(
1+x
x
)i-1=(x+1)ix2014-i
.-----------------(4分)
bi+1-bi=x2013(
1+x
x
)i
…(6分)
用歸納法證明 ai-bix2013
2014-i
2013
, 1≤i≤2013

由于a1-b1=x2013+x2012-1≥x2013,即i=1成立.…(8分)
假設(shè) 1≤i≤2012成立,則ai+1-bi+1=(ai+1-ai)-(bi+1-bi)+(ai-bi)=x2013-x2013(
1+x
x
)i+(ai-bi)

x2013-x2013(
1+x
x
)203+(ai-bi)≥-x2013
1
2013
+(ai-bi)
≥-x2013
1
2013
+x2013
2013-i+1
2013
=x2013
2014-(i+1)
2013
.…(14分)
所以,ai>bi,i=1,2,…,2013.
歸納證明bi+1>ai,i=1,2,…,2012,首先 b2-a1=1>0,
假設(shè) 1≤i≤2011成立,
則bi+2-ai+1=(bi+2-bi+1)-(ai+1-ai)+(bi+1-ai)=x2013(
1+x
x
)i+1-x2013+(b i+1-ai)>0
.…(17分)
故命題成立.
點評:本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合,考查數(shù)學(xué)歸納法的運用,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=x2+1,g(x)=x,數(shù)列{an}滿足條件:對于n∈N*,an>0,且a1=1并有關(guān)系式:f(an+1)-f(an)=g(an+1),又設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn=
log
a
an+1
(a>0且a≠1,n∈N*).
(1)求證數(shù)列{an+1}為等比數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)試問數(shù)列{
1
bn
}是否為等差數(shù)列,如果是,請寫出公差,如果不是,說明理由;
(3)若a=2,記cn=
1
(an+1)-bn
,n∈N*,設(shè)數(shù)列{cn}的前n項和為Tn,數(shù)列{
1
bn
}的前n項和為Rn,若對任意的n∈N*,不等式λnTn+
2Rn
an+1
<2(λn+
3
an+1
)
恒成立,試求實數(shù)λ的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2007•成都一模)已知向量m=(x2,y-cx),n=(1,x+b)(x,y,b,c∈R)且m∥n,把其中x,y所滿足的關(guān)系式記為y=f(x).若f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),F(xiàn)(x)=f(x)+af'(x)(a>0),且F(x)是R上的奇函數(shù).
(Ⅰ)求
ba
和c
的值;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間(用字母a表示);
(Ⅲ)當(dāng)a=2時,設(shè)0<t<4且t≠2,曲線y=f(x)在點A(t,f(t))處的切線與曲線y=f(x)相交于點B(m,f(m))(A與B不重合),直線x=t與y=f(m)相交于點C,△ABC的面積為S,試用t表示△ABC的面積S(t);并求S(t)的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•韶關(guān)一模)已知定義在實數(shù)集上的函數(shù)fn(x)=xn,n∈N*,其導(dǎo)函數(shù)記為f′n(x),且滿足.
(Ⅰ)設(shè)函數(shù)g(x)=f2n-1(x)•fn(1-x),求g(x)的極大值與極小值;
(Ⅱ)試求關(guān)于x的方程
f′n(1+x)
f′n+1(1+x)
=
2n-1
2n+1-1
在區(qū)間(0,1)上的實數(shù)根的個數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2010•上海模擬)設(shè)向量
s
=(x+1,y),
t
=(y,x-1)(x,y∈R)
,滿足|
s
|+|
t
 |=2
2
,已知兩定點A(1,0),B(-1,0),動點P(x,y),
(1)求動點P(x,y)的軌跡C的方程;
(2)已知直線m:y=x+t交軌跡C于兩點M,N,(A,B在直線MN兩側(cè)),求四邊形MANB的面積的最大值.
(3)過原點O作直線l與直線x=2交于D點,過點A作OD的垂線與以O(shè)D為直徑的圓交于點G,H(不妨設(shè)點G在直線OD上方),求證:線段OG的長為定值.

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同步練習(xí)冊答案