Question

12．設(shè)P為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{36}-\frac{{y}^{2}}{25}$=1右支上的任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作雙曲線兩漸近線的平行線，分別與兩漸近線交于A，B兩點(diǎn)，則平行四邊形PAOB的面積為15．

Answer 1

分析 方法一：設(shè)P的參數(shù)方程，求得直線PA的方程，將y=$\frac{5}{6}$x代入，求得A和B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形PAOB的面積即公式可求得平行四邊形PAOB的面積；
方法二：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)，求得PA方程，將y=$\frac{5}{6}$x代入即可求得A點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式，d=$\frac{丨5{x}_{0}-6{y}_{0}丨}{\sqrt{36+25}}$，則S=2S_△OPA=|OA|•d，即可求得平行四邊形PAOB的面積．

解答 解：方法一：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{36}-\frac{{y}^{2}}{25}$=1的漸近線方程為y=±$\frac{5}{6}$x，
不妨設(shè)P為雙曲線右支上一點(diǎn)，其坐標(biāo)為P（6secφ，5tanφ），
則直線PA的方程為y-5tanφ=-$\frac{5}{6}$（x-6secφ），
將y=$\frac{5}{6}$x代入，解得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x_A=3（secφ+tanφ）．
同理可得，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為x_B=3（secφ-tanφ）．
  設(shè)∠AOF=α，則tanα=$\frac{5}{6}$．
∴平行四邊形PAOB的面積為S□PAOB=|OA|?|OB|?sin2α=$\frac{{x}_{A}}{cosα}$•$\frac{{x}_{B}}{cosα}$•sin2α=$\frac{36（se{c}^{2}φ）}{4co{s}^{2}α}$•sin2α=$\frac{36}{2}$•tanα=18×$\frac{5}{6}$=15，
平行四邊形PAOB的面積15，
方法二：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{36}-\frac{{y}^{2}}{25}$=1的漸近線方程為y=±$\frac{5}{6}$x，P（x₀，y₀）直線PA的方程為y-y₀=-$\frac{5}{6}$（x-x₀），
直線OB的方程為y=$\frac{5}{6}$x，
$\left\{\begin{array}{l}{y-{y}_{0}=-\frac{5}{6}（x-{x}_{0}）}\\{y=\frac{5}{6}x}\end{array}\right.$，解得x_A=$\frac{1}{10}$（6y₀+5x₀）．又P到漸近線OA的距離d=$\frac{丨b{x}_{0}-a{y}_{0}丨}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{丨5{x}_{0}-6{y}_{0}丨}{\sqrt{36+25}}$，又tan∠xOA=$\frac{5}{6}$∴cos∠xOA=$\frac{6}{\sqrt{36+25}}$，
∴平行四邊形OQPR的面積S=2S_△OPA=|OA|•d=$\frac{丨{x}_{0}丨•d}{cos∠xOA}$=$\frac{\sqrt{36+25}}{6}$×$\frac{1}{10}$丨6y₀+5x₀丨×$\frac{丨5{x}_{0}-6{y}_{0}丨}{\sqrt{36+25}}$=$\frac{1}{6}$×$\frac{1}{10}$×900=15，
故答案為：15．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查雙曲線的參數(shù)方程的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．