Question

（2012•黃州區(qū)模擬）如圖，直線l⊥平面α，垂足為O，已知在直角三角形ABC中，BC=1，AC=2，AB=

5

．該直角三角形在空間做符合以下條件的自由運動：（1）A∈l，（2）C∈α．則B、O兩點間的最大距離為

1+

2

．

Answer 1

分析：先將原問題轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的最大距離問題解決，以O(shè)為原點，OA為y軸，OC為x軸建立直角坐標(biāo)系，B、O兩點間的距離表示處理，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值即可．

解答：解：將原問題轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的最大距離問題解決，
以O(shè)為原點，OA為y軸，OC為x軸建立直角坐標(biāo)系，如圖．
設(shè)∠ACO=θ，B（x，y），則有：x=ACcosθ+BCsinθ=2cosθ+
sinθ，y=BCcosθ=cosθ．
∴x²+y²=4cos²θ+4sinθcosθ+1=2cos2θ+2sin2θ+3=2

2

sin（2θ+

π

4

）+3，
當(dāng)sin（2θ+

π

4

）=1時，x²+y²最大，為2

2

+3，
則B、O兩點間的最大距離為1+

2

故答案為：1+

2

．

點評：本題考查了點、線、面間的距離計算，解答關(guān)鍵是將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題解決，利用三角函數(shù)的知識求最大值．