Question

【題目】綜合題
（1）已知函數(shù)f（x）=2x+ （x＞0），證明函數(shù)f（x）在（0， ）上單調(diào)遞減，并寫(xiě)出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）記函數(shù)g（x）=a|x|+2ax（a＞1） ①若a=4，解關(guān)于x的方程g（x）=3；
②若x∈[﹣1，+∞），求函數(shù)g（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設(shè)x1，x2是區(qū)間（0， ）上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1＜x2，

則f（x1）﹣f（x2）=2（x1﹣x2）+（ ﹣ ）= ，

因?yàn)?＜x1＜x2＜ ，所以x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜ ，故2x1x2﹣1＜0，

所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），

所以函數(shù)f（x）在（0， ）上單調(diào)遞減，

函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ，+∞）．

（2）解：①當(dāng)a=4時(shí)，4|x|+24x=3，

（�。┊�(dāng)x≥0時(shí)，4x+24x=3，即4x=1，所以x=0；

（ⅱ）當(dāng)x＜0時(shí)，4﹣x+24x=3，

即2（4x）2﹣34x+1=0，

解得：4x=1或4x= ，

所以x=﹣ 或0（舍去）；

綜上所述，方程g（x）=3的解為x=0或x=﹣ ；

②（�。┊�(dāng)x≥0時(shí)，g（x）=3ax，其中a＞1，

所以g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，g（x）min=g（0）=3，

所以g（x）在[0，+∞）上的值域?yàn)閇3，+∞）；

（ⅱ）當(dāng)x∈[﹣1，0）時(shí)，g（x）=a﹣x+2ax，其中a＞1，

令t=ax，則t∈[ ，1），g（x）=2t+ =f（t），

（�。┤�1＜a≤ ，則 ≥ ，

據(jù)（1）可知，f（t）=2t+ 在[ ，1）上單調(diào)遞增，

所以f（ ）≤f（t）＜f（1），且f（ ）=a+ ，f（1）=3，

此時(shí)，g（x）在[﹣1，0）上的值域?yàn)閇a+ ，3）；

（ⅱ）若a＞ ，則 ＜ ，

據(jù)（1）可知，f（t）=2t+ 在[ ， ）上單調(diào)遞減，在（ ，1）上單調(diào)遞增，

所以f（t）min=f（ ）=2 ，又f（ ）=a+ ，f（1）=3，

當(dāng)f（ ）≥f（1）時(shí)，g（x）在[﹣1，0）上的值域?yàn)閇2 ，a+ ]，

當(dāng)f（ ）＜f（1）時(shí)，g（x）在[﹣1，0）上的值域?yàn)閇2 ，3）；

綜上所述，當(dāng)1＜a≤ 時(shí)，函數(shù)g（x）在[﹣1，+∞）上的值域?yàn)閇a+ ，+∞；

當(dāng)a＞ 時(shí)，函數(shù)g（x）在[﹣1，+∞）上的值域?yàn)閇2 ，+∞）．

【解析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；（2）①將a=4帶入g（x），通過(guò)討論x的正負(fù)，去掉絕對(duì)值號(hào)，解方程即可；②通過(guò)討論x的范圍，求出g（x）的單調(diào)性，從而求出g（x）的值域即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的值域的相關(guān)知識(shí)，掌握求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最�。ù螅�數(shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最�。ù螅┲担�因此求函數(shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的，以及對(duì)函數(shù)的單調(diào)性的理解，了解注意：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)；函數(shù)的單調(diào)性還有單調(diào)不增，和單調(diào)不減兩種．