Question

14．已知拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P，Q（異于頂點(diǎn)O）在拋物線上．
（1）若點(diǎn)P（1，2），試求過(guò)點(diǎn)P且與拋物線相切的直線方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)P，Q且與拋物線分別相切的直線交于點(diǎn)M，證明：|PF|，|MF|，|QF|依次成等比數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，確定切線的斜率，可得切線方程；
（2）求出過(guò)點(diǎn)P，Q且與拋物線分別相切的直線方程，可得M的坐標(biāo)，利用等比數(shù)列的定義進(jìn)行證明．

解答 （1）解：由題意，y=2$\sqrt{x}$，y′=$\frac{1}{\sqrt{x}}$，x=1，y′=1，
∴過(guò)點(diǎn)P且與拋物線相切的直線方程為y-2=x-1，即x-y+1=0；
（2）證明：設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則過(guò)P的切線方程為y-y₁=$\frac{1}{\sqrt{{x}_{1}}}$（x-x₁），即y=$\frac{1}{\sqrt{{x}_{1}}}$x+$\sqrt{{x}_{1}}$，
同理過(guò)Q的切線方程為y=$\frac{1}{\sqrt{{x}_{2}}}$x+$\sqrt{{x}_{2}}$，可得M（$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$，$\sqrt{{x}_{1}}$+$\sqrt{{x}_{2}}$），
∴|PF|=x₁+1，|QF|=x₂+1，|MF|²=（$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$-1）²+（$\sqrt{{x}_{1}}$+$\sqrt{{x}_{2}}$）²，
∴|MF|²=|PF||QF|，
∴|PF|，|MF|，|QF|依次成等比數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的切線方程，考查等比數(shù)列的證明，綜合性強(qiáng)．