Question

已知函數(shù)f（x）=x⁴+ax³+bx²+ax+1，若實(shí)數(shù)a，b使得f（x）=0有實(shí)根，則a²+b²的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：由方程x⁴+ax³+bx²+ax+1=0，可知x≠0，可化為x2+ax+b+

a

x

+

1

x2

=0．通過(guò)換元，令t=x+

1

x

，得到t²+at+b-2=0，|t|≥2．通過(guò)對(duì)a和判別式△分類討論即可得出．

解答： 解：函數(shù)f（x）=x⁴+ax³+bx²+ax+1，若實(shí)數(shù)a，b使得f（x）=0有實(shí)根
∴方程x⁴+ax³+bx²+ax+1=0，可知x≠0，因此方程可化為x2+ax+b+

a

x

+

1

x2

=0．
令t=x+

1

x

，則t²+at+b-2=0，|t|≥2．
設(shè)g（t）=t²+at+b-2，（|t|≥2）．
當(dāng)-

a

2

＜-2時(shí)，即a＞4，只需△=a²-4b+8≥0，此時(shí)a²+b²≥16．
當(dāng)-

a

2

＞2時(shí)，即a＜-4，只需△=a²-4b+8≥0，此時(shí)a²+b²≥16．
當(dāng)-2≤-

a

2

≤2時(shí)，即-4≤a≤4，只需（-2）²-2a+b-2≤0或2²+2a+b-2≤0，
即-2a+b+2≤0或2a+b+2≤0時(shí)，此時(shí)a²+b²≥

4

5

．
∴a²+b²的最小值為

4

5

．
故答案為：

4

5

點(diǎn)評(píng)：本題考查了換元法和分類討論、二次函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于難題．