若P是雙曲線C1：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)和圓C2：x2+y2=a2+b2的一個交點(diǎn)，且∠PF2F1=2∠PF1F2，其中F1、F2是雙曲線C1的兩個焦點(diǎn)，則雙曲線C1的離心率的為
 
．
分析：a2+b2=c2，知圓C2必過雙曲線C1的兩個焦點(diǎn)，∠F1PF2=
π
2
，2∠PF1F2=∠PF2F1=
π
3
，則|PF2|=c，|PF1| =
3
c，由此能求出雙曲線的離心率．
解答：解：∵a2+b2=c2，
∴圓C2必過雙曲線C1的兩個焦點(diǎn)，∠F1PF2=
π
2
，
2∠PF1F2=∠PF2F1=
π
3
，則|PF2|=c，|PF1| =
3
c，
故雙曲線的離心率為
2c
3
c-c
=
3
+1．
故答案為：
3
+1．
點(diǎn)評：本題考查雙曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)P（x0，y0）是漸近線為2x±3y=0且經(jīng)過定點(diǎn)（6，2
3
）的雙曲線C1上的一動點(diǎn)，點(diǎn)Q是P關(guān)于雙曲線C1實(shí)軸A1A2的對稱點(diǎn)，設(shè)直線PA1與QA2的交點(diǎn)為M（x，y），
（1）求雙曲線C1的方程；
（2）求動點(diǎn)M的軌跡C2的方程；
（3）已知x軸上一定點(diǎn)N（1，0），過N點(diǎn)斜率不為0的直線L交C2于A、B兩點(diǎn)，x軸上是否存在定點(diǎn) K（x0，0）使得∠AKN=∠BKN？若存在，求出點(diǎn)K的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓C和等軸雙曲線C1，點(diǎn)(
5
，-1)在曲線C1上，橢圓C的焦點(diǎn)是雙曲線C1的頂點(diǎn)，且橢圓C與y軸正半軸的交點(diǎn)M到直線x-
3
y-2=0的距離為4．
（Ⅰ）求雙曲線C1和橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）直線x=2與橢圓C相交于P、Q兩點(diǎn)，A、B是橢圓上位于直線PQ兩側(cè)的兩動點(diǎn)，若直線AB的斜率為
1
2
，求四邊形APBQ面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•湛江二模）已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)分別是A、B，P是雙曲線C2：
x2
a2
-
y2
b2
=1右支x軸上方的一點(diǎn)，連接AP交橢圓于點(diǎn)C，連接PB并延長交橢圓于點(diǎn)D．
（1）若a=2b，求橢圓C1及雙曲線C2的離心率；
（2）若△ACD和△PCD的面積相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（用a，b表示）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓C和等軸雙曲線C1，點(diǎn)數(shù)學(xué)公式在曲線C1上，橢圓C的焦點(diǎn)是雙曲線C1的頂點(diǎn)，且橢圓C與y軸正半軸的交點(diǎn)M到直線數(shù)學(xué)公式的距離為4．
（Ⅰ）求雙曲線C1和橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）直線x=2與橢圓C相交于P、Q兩點(diǎn)，A、B是橢圓上位于直線PQ兩側(cè)的兩動點(diǎn)，若直線AB的斜率為數(shù)學(xué)公式，求四邊形APBQ面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知點(diǎn)P（x，y）是漸近線為2x±3y=0且經(jīng)過定點(diǎn)（6，2）的雙曲線C1上的一動點(diǎn)，點(diǎn)Q是P關(guān)于雙曲線C1實(shí)軸A1A2的對稱點(diǎn)，設(shè)直線PA1與QA2的交點(diǎn)為M（x，y），
（1）求雙曲線C1的方程；
（2）求動點(diǎn)M的軌跡C2的方程；
（3）已知x軸上一定點(diǎn)N（1，0），過N點(diǎn)斜率不為0的直線L交C2于A、B兩點(diǎn)，x軸上是否存在定點(diǎn) K（x，0）使得∠AKN=∠BKN？若存在，求出點(diǎn)K的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

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