Question

13．已知直線l過點P（0，-4），且傾斜角為$\frac{π}{4}$，圓C的極坐標方程為ρ=4cosθ．
（1）求直線l的參數方程和圓C的直角坐標方程；
（2）若直線l和圓C相交于A、B兩點，求|PA|•|PB|及弦長|AB|的值．

Answer 1

分析 （1）直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=tcos\frac{π}{4}}\\{y=-4+tsin\frac{π}{4}}\end{array}\right.$（t為參數），化簡即可得出．圓C的極坐標方程為ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，利用互化公式即可得出圓C的直角坐標方程．
（2）把直線l的參數方程代入圓C的方程，化簡得${t}^{2}-6\sqrt{2}t$+16=0，利用根與系數的關系及其：|PA|•|PB|=|t₁t₂|，弦長|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$，即可得出．

解答 解：（1）直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=tcos\frac{π}{4}}\\{y=-4+tsin\frac{π}{4}}\end{array}\right.$（t為參數），即$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數）．
圓C的極坐標方程為ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，∴圓C的直角坐標方程為：x²+y²=4x．
（2）把直線l的參數方程代入圓C的方程，化簡得${t}^{2}-6\sqrt{2}t$+16=0，
△＞0，∴t₁t₂=16，t₁+t₂=$6\sqrt{2}$．
∴|PA|•|PB|=|t₁t₂|=16，
弦長|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{72-64}$=2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了極坐標與直角坐標方程互化、直線與圓相交弦長公式、一元二次方程的根與系數的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．