【題目】設(shè)函數(shù).
(1)若函數(shù)在區(qū)間
(
為自然對數(shù)的底數(shù))上有唯一的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(2)若在(
為自然對數(shù)的底數(shù))上存在一點(diǎn)
,使得
成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
【答案】(1)或
(2)
.
【解析】
(1)求得,對
的范圍分類,即可判斷函數(shù)
的單調(diào)性,結(jié)合
即可判斷函數(shù)
在區(qū)間
上是否有唯一的零點(diǎn),問題得解。
(2)將問題轉(zhuǎn)化為:函數(shù)在
上的最小值小于零.求得
,對
的范圍分類即可判斷函數(shù)的單調(diào)性,從而求得
的最小值,問題得解。
(1),其中
.
①當(dāng)時(shí),
恒成立,
單調(diào)遞增,
又∵,函數(shù)
在區(qū)間
上有唯一的零點(diǎn),符合題意.
②當(dāng)時(shí),
恒成立,
單調(diào)遞減,
又∵,函數(shù)
在區(qū)間
上有唯一的零點(diǎn),符合題意.
③當(dāng)時(shí),
時(shí),
,
單調(diào)遞減,
又∵,∴
,
∴函數(shù)在區(qū)間
有唯一的零點(diǎn),
當(dāng)時(shí),
,
單調(diào)遞增,
當(dāng)時(shí)符合題意,即
,
∴時(shí),函數(shù)
在區(qū)間
上有唯一的零點(diǎn);
∴的取值范圍是
.
(2)在上存在一點(diǎn)
,使得
成立,等價(jià)于
在
上有解,即函數(shù)
在
上的最小值小于零.
,
①當(dāng)時(shí),即
時(shí),
在
上單調(diào)遞減,所以
的最小值為
,由
可得
,∵
,∴
;
②當(dāng)時(shí),即
時(shí),
在
上單調(diào)遞增,所以
的最小值為
,由
可得
;
③當(dāng)時(shí),即
時(shí),
可得的最小值為
,∵
,∴
,
,所以
不成立.
綜上所述:可得所求的取值范圍是
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)
,且其右焦點(diǎn)與拋物線
的焦點(diǎn)
重合.
(1)求橢圓的方程;
(2)直線經(jīng)過點(diǎn)
與橢圓
相交于
、
兩點(diǎn),與拋物線
相交于
、
兩點(diǎn).求
的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓與拋物線
:
的準(zhǔn)線交于
,
兩點(diǎn),且
.
(1)求拋物線的方程;
(2)若直線:
與曲線
交于
,
兩點(diǎn),且曲線
上存在兩點(diǎn)
,
關(guān)于直線
對稱,求實(shí)數(shù)
的取值范圍及
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱中,
是邊長為2的等邊三角形,
,
,
.
(1)證明:平面平面
;
(2),
分別是
,
的中點(diǎn),
是線段
上的動(dòng)點(diǎn),若二面角
的平面角的大小為
,試確定點(diǎn)
的位置.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
.
(1)若是函數(shù)
的極值點(diǎn),求
的極小值;
(2)若對任意的實(shí)數(shù)a,函數(shù)在
上總有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)b的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】科赫曲線是一種外形像雪花的幾何曲線,一段科赫曲線可以通過下列操作步驟構(gòu)造得到,任畫一條線段,然后把它均分成三等分,以中間一段為邊向外作正三角形,并把中間一段去掉,這樣,原來的一條線段就變成了4條小線段構(gòu)成的折線,稱為“一次構(gòu)造”;用同樣的方法把每條小線段重復(fù)上述步驟,得到16條更小的線段構(gòu)成的折線,稱為“二次構(gòu)造”,…,如此進(jìn)行“次構(gòu)造”,就可以得到一條科赫曲線.若要在構(gòu)造過程中使得到的折線的長度達(dá)到初始線段的1000倍,則至少需要通過構(gòu)造的次數(shù)是( ).(取
,
)
A.16B.17C.24D.25
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中,側(cè)面
是邊長為2的等邊三角形且垂直于底面
,
,
,
是
的中點(diǎn).
(1)求證:直線平面
;
(2)點(diǎn)在棱
上,且二面角
的余弦值為
,求直線
與底面
所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
,其導(dǎo)函數(shù)為
.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若,關(guān)于
的不等式
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(3)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)
,
,求證:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知兩點(diǎn)分別在
軸和
軸上運(yùn)動(dòng),且
,若動(dòng)點(diǎn)
滿足
.
(1)求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡
的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)動(dòng)直線與曲線
有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),與圓
相交于兩點(diǎn)
(兩點(diǎn)均不在坐標(biāo)軸上),求直線
的斜率之積.
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