Question

如圖所示，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=CB=AA₁=2，∠ACB=90°，E為BB₁的中點，D∈AB，∠A₁DE=90°．
（1）求證：CD⊥平面ABB₁A₁；
（2）求二面角D-A₁C-A的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）以C點為原點，CA所在直線為x軸，CB所在直線為y軸，以CC₁所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明CD⊥平面A₁DE．
（2）分別求出平面A₁DC的法向量和平面A₁CA的法向量，利用向量法能求出二面角D-A₁C-A的余弦值．

解答： 解：（1）以C點為原點，CA所在直線為x軸，CB所在直線為y軸，
以CC₁所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，
則C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），
A₁（2，0，2），B₁（0，2，2），D（1，1，0），E（0，2，1），
∴

CD

=（1，1，0），

A1D

=（-1，1，-2），

DE

=（-1，1，1）．
∵

CD

•

A1D

=0，

CD

•

DE

=0．
∴線段CD⊥線段A₁D，線段CD⊥線段DE，
∴CD⊥平面A₁DE．
（2）

CA1

=（2，0，2），

CD

=（1，1，0）．
設平面A₁DC的法向量

n

=（x，y，z）．
 則

n • CA1 =2x+2z=0 n • CD =x+y=0

，取z=1，得

n

=（-1，1，1）．
又∵CB⊥平面A₁CA，

CB

=（0，2，0）就是平面A₁CA的一個法向量．
設二面角D-A₁C-A的平面角為θ，
cosθ=|cos＜

n

，

CB

＞|=|

2

2 3

|=

3

3

，
∴二面角D-A₁C-A的余弦值為

3

3

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要注意向量法的合理運用．