【題目】如圖,四棱錐P-ABCD的底面為矩形,AB=,BC=1,E,F分別是AB,PC的中點(diǎn),DE⊥PA.
(1)求證:EF∥平面PAD;
(2)求證:平面PAC⊥平面PDE.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析.
【解析】試題分析:(1)取PD中點(diǎn)G,根據(jù)平幾知識(shí)可得AEFG為平行四邊形,即得EF∥AG,再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)論(2)由矩形性質(zhì)得DE⊥AC.又DE⊥PA.因此由線面垂直判定定理得DE⊥平面PAC.再根據(jù)面面垂直判定定理得結(jié)論
試題解析:證明 (1)如圖,取PD中點(diǎn)G,連接AG,FG,
因?yàn)?/span>F,G分別為PC,PD的中點(diǎn),所以FG∥CD,且FG=CD.
又因?yàn)?/span>E為AB中點(diǎn),所以AE∥CD,且AE=CD.
所以AE∥FG,AE=FG.
所以四邊形AEFG為平行四邊形.
所以EF∥AG,又EF平面PAD,
AG平面PAD,
所以EF∥平面PAD.
(2)設(shè)AC∩DE=H,由△AEH∽△CDH及E為AB中點(diǎn),得==,
又因?yàn)?/span>AB=,BC=1,
所以AC=,AH=AC=.
所以==,又∠BAC為公共角,所以△HAE∽△BAC.
所以∠AHE=∠ABC=90°,
即DE⊥AC.
又DE⊥PA,PA∩AC=A,PA平面PAC,AC平面PAC,所以DE⊥平面PAC.
又DE平面PDE,
所以平面PAC⊥平面PDE.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn),點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,線段的垂直平分線分別與,交于,兩點(diǎn).
(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與點(diǎn)的軌跡交于,兩點(diǎn),在軸上是否存在定點(diǎn),使以為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在邊長(zhǎng)為4的菱形中, ,點(diǎn)分別是的中點(diǎn), ,沿將翻折到,連接,得到如圖的五棱錐,且
(1)求證: 平面(2)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)是定義在[-1,1]上的奇函數(shù),在[0,1]上f(x)=2x+ln(x+1)-1.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;并判斷f(x)在[-1,1]上的單調(diào)性(不要求證明);
(2)解不等式f(2x-1)+f(1-x2)≥0.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,底面ABC為正三角形,EA⊥平面ABC,DC⊥平面ABC,EA=AB=2DC=2a,設(shè)F為EB的中點(diǎn).
(1)求證:DF∥平面ABC;
(2)求直線AD與平面AEB所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓: ()的離心率為, , 分別是它的左、右焦點(diǎn),且存在直線,使, 關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)恰好是圓: (, )的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線與拋物線相交于、兩點(diǎn),射線、與橢圓分別相交于、.試探究:是否存在數(shù)集,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),總存在,使點(diǎn)在以線段為直徑的圓內(nèi)?若存在,求出數(shù)集;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于圓柱的底面圓O,AB是圓O的直徑,AB=2,BC=1,DC、EB是兩條母線,且tan∠EAB=.
(1)求三棱錐C-ABE的體積;
(2)證明:平面ACD⊥平面ADE;
(3)在CD上是否存在一點(diǎn)M,使得MO∥平面ADE,證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若,求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若關(guān)于的不等式對(duì)一切恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若是的極值點(diǎn),試研究函數(shù)的單調(diào)性,并求的極值;
(2)若在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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