Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{x}，x＜0}\\{x-2，x≥0}\end{array}\right.$，若f[f（-2）]=a，實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-a≥0}\\{x+y≤6}\\{2x-y≤6}\end{array}\right.$，則目標(biāo)函數(shù)z=$\frac{3x+4y+10}{x+2}$的最大值為8．

Answer 1

分析 根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式，求出a的值，作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用分式函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合直線斜率的公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：f（-2）=$（\frac{1}{2}）^{-2}$=4，
則a=f[f（-2）]=f（4）=4-2=2，
則約束條件為$\left\{\begin{array}{l}{x-2≥0}\\{x+y≤6}\\{2x-y≤6}\end{array}\right.$，
作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
z=$\frac{3x+4y+10}{x+2}$=$\frac{3（x+2）+4y+4}{x+2}$=3+4•$\frac{y+1}{x+2}$，
設(shè)k=$\frac{y+1}{x+2}$，
則k的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)D（-2，-1）的斜率，
則z=3+4k，
由圖象知AD的斜率最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{x+y=6}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$，即A（2，4），
此時k=$\frac{4+1}{2+2}$=$\frac{5}{4}$，
則z=3+4×$\frac{5}{4}$=3+4=8，
即目標(biāo)函數(shù)z=$\frac{3x+4y+10}{x+2}$的最大值為8，
故答案為：8

點(diǎn)評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)條件求出a的值，利用分式的應(yīng)用轉(zhuǎn)化為直線斜率問題是解決本題的關(guān)鍵．