Question

3．若函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{3^x}-a，x≤1\\ ln（{x-1}），x＞1\end{array}\right.$有兩個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是（0，1]．

Answer 1

分析 由f（x）=ln（x-1）=0，得x=2．由題意得，當(dāng)x≤1時，函數(shù)f（x）=3^x-a還有一個零點，運用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求出a的取值范圍．

解答 解：當(dāng)x＞1時，由f（x）=ln（x-1）=0，得x=2．
∵函數(shù)f（x）有兩個不同的零點，
∴當(dāng)x≤1時，函數(shù)f（x）=3^x-a還有一個零點，
令f（x）=0得a=3^x，
∵0＜3^x≤3⁰=1，∴0＜a≤1，
∴實數(shù)a的取值范圍是0＜a≤1．
故答案為：（0，1]．

點評 本題考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和運用，考查對數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，函數(shù)的零點問題，屬于中檔題．