Question

19．橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)P在橢圓C上，滿足$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{{F_1}{F_2}}=0，|{\overrightarrow{P{F_1}}}|=\frac{{\sqrt{5}}}{5}，|{\overrightarrow{P{F_2}}}|=\frac{{9\sqrt{5}}}{5}$．
（1）求橢圓C的方程．
（2）設(shè)過點(diǎn)D（0，2）的直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)M、N，且N在D、M之間，設(shè)$\overrightarrow{DN}=λ\overrightarrow{DM}$，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由橢圓定義得$|{P{F_1}}|+|{P{F_2}}|=2\sqrt{5}=2a$，由${|{{F_1}{F_2}}|^2}+{|{P{F_1}}|^2}={|{P{F_2}}|^2}$，得c=2，由此能求出橢圓方程．
（2）當(dāng)直線L的斜率不存在時，直線L為x=0，DN=1，DM=3，$λ=\frac{1}{3}$；當(dāng)直線L的斜率存在時，設(shè)直線L的方程為y=kx+2，代入$\frac{x^2}{5}+{y^2}=1$，得（1+5k²）x²+20kx+15=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、向量知識，結(jié)合已知條件能求出λ的取值范圍．

解答 解：（1）∵橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)P在橢圓C上，
滿足$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{{F_1}{F_2}}=0，|{\overrightarrow{P{F_1}}}|=\frac{{\sqrt{5}}}{5}，|{\overrightarrow{P{F_2}}}|=\frac{{9\sqrt{5}}}{5}$．
∴$|{P{F_1}}|+|{P{F_2}}|=2\sqrt{5}=2a$，得$a=\sqrt{5}$，由${|{{F_1}{F_2}}|^2}+{|{P{F_1}}|^2}={|{P{F_2}}|^2}$
得c=2，
由c²=a²-b²得b=1，
∴橢圓方程為$\frac{x^2}{5}+{y^2}=1$．…（4分）
（2）由題意可知：
當(dāng)直線L的斜率不存在時，直線L為x=0，DN=1，DM=3，$λ=\frac{1}{3}$；…（6分）
當(dāng)直線L的斜率存在時，設(shè)直線L的方程為y=kx+2，代入$\frac{x^2}{5}+{y^2}=1$，
得（1+5k²）x²+20kx+15=0，
△=（20k）²-4×15（1+5k²）＞0，得k²＞$\frac{3}{5}$，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=-\frac{20k}{{1+5{k^2}}}\\{x_1}•{x_2}=\frac{15}{{1+5{k^2}}}\end{array}\right.$，…．（8分）
由$\overrightarrow{DN}=λ\overrightarrow{DM}$得（x₂，y₂-2）=λ（x₁，y₁-2）
∴x₂=λx₁代入上式得$\left\{\begin{array}{l}{（1+λ）^2}{x_1}^2=\frac{{400{k^2}}}{{{{（1+5{k^2}）}^2}}}\\ λ{(lán)x_1}^2=\frac{15}{{1+5{k^2}}}\end{array}\right.$再消去${x_1}^2$，得$\frac{{{{（1+λ）}^2}}}{λ}=\frac{{400{k^2}}}{{15（1+5{k^2}）}}=\frac{80}{{3（5+\frac{1}{k^2}）}}$，
∵${k^2}＞\frac{3}{5}$，∴$0＜\frac{1}{k^2}＜\frac{5}{3}$，∴$5＜\frac{1}{k^2}+5＜\frac{20}{3}$，即$4＜\frac{80}{{3（\frac{1}{k^2}+5）}}＜\frac{16}{3}$，
∴$4＜\frac{{{{（1+λ）}^2}}}{λ}＜\frac{16}{3}$，解得$\frac{1}{3}＜λ＜3$，…（10分）
又N在D，M之間，∴$\frac{1}{3}＜λ＜1$，…（11分）
由上綜合可得$\frac{1}{3}≤λ＜1$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程、實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)、根的判別式、韋達(dá)定理、向量知識的合理運(yùn)用．