【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+ax(a∈R),g(x)= (f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)),若方程g(f(x))=0有四個不等的實根,則a的取值范圍是 .
【答案】(﹣∞,0)∪(2,+∞)
【解析】解:當(dāng)a=0時,可知方程g(f(x))=0有且只有一個根;
當(dāng)a≠0時,
∵f(x)=x2+ax,f′(x)=2x+a;
∴g(x)= ,
當(dāng)f(x)≥0時,f2(x)+af(x)=0,
∴f(x)=0或f(x)=﹣a,
即x2+ax=0或x2+ax=﹣a;
由x2+ax=0可解得x=0或x=﹣a;
當(dāng)a>0時,方程f(x)=﹣a無解;
當(dāng)a<0時,方程f(x)=﹣a可化為x2+ax+a=0,
而△=a2﹣4a>0;
故方程x2+ax+a=0有兩個不同的根,
且0,﹣a不是方程x2+ax+a=0的根;
當(dāng)f(x)<0時,2f(x)+a=0,
當(dāng)a<0時,方程2x2+2ax+a=0沒有實數(shù)根;
當(dāng)a>0時,△=4a(a﹣2),
當(dāng)a=2時,方程有且只有一個實數(shù)根;
當(dāng)a>2時,方程2x2+2ax+a=0有兩個不同的實數(shù)根;
綜上所述,
當(dāng)a<0或a>2時,方程g(f(x))=0有四個不等的實根;
故a的取值范圍是(﹣∞,0)∪(2,+∞);
所以答案是:(﹣∞,0)∪(2,+∞).
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【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=pn+q(p≠0且p≠1),求證:數(shù)列{an}為等比數(shù)列的充要條件為q=-1.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=alnx+ax2+bx,(a,b∈R).
(1)設(shè)a=1,f(x)在x=1處的切線過點(2,6),求b的值;
(2)設(shè)b=a2+2,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,4]上的最大值;
(3)定義:一般的,設(shè)函數(shù)g(x)的定義域為D,若存在x0∈D,使g(x0)=x0成立,則稱x0為函數(shù)g(x)的不動點.設(shè)a>0,試問當(dāng)函數(shù)f(x)有兩個不同的不動點時,這兩個不動點能否同時也是函數(shù)f(x)的極值點?
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【題目】已知各項均不為0的數(shù)列{an}滿足a1=a,a2=b,且an2=an﹣1an+1+λ(n≥2,n∈N),其中λ∈R.
(1)若λ=0,求證:數(shù)列{an}是等比數(shù)列;
(2)求證:數(shù)列{an}是等差數(shù)列的充要條件是λ=(b﹣a)2;
(3)若數(shù)列{bn}為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,且對任意的n∈N* , 滿足bn﹣an=1,求證:數(shù)列{(﹣1)nanbn}的前2n項和為常數(shù).
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【題目】環(huán)保部門對5家造紙廠進(jìn)行排污檢查,若檢查不合格,則必須整改,整改后經(jīng)復(fù)查仍然不合格的,則關(guān)閉.設(shè)每家造紙廠檢查是否合格是相互獨立的,且每家造紙廠檢查前合格的概率是 ,整改后檢查合格的概率是 ,求:
(Ⅰ)恰好有兩家造紙廠必須整改的概率;
(Ⅱ)至少要關(guān)閉一家造紙廠的概率;
(Ⅲ)平均多少家造紙廠需要整改?(其中( )5≈ )
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【題目】如圖所示,在四棱錐E-ABCD中,四邊形ABCD是平行四邊形,△BCE是等邊三角形,△ABE是等腰直角三角形,∠BAE=90°,且AC=BC.
(1)證明:平面ABE⊥平面BCE;
(2)求二面角A-DE-C的余弦值.
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【題目】某賓館在裝修時,為了美觀,欲將客房的窗戶設(shè)計成半徑為1m的圓形,并用四根木條將圓分成如圖所示的9個區(qū)域,其中四邊形ABCD為中心在圓心的矩形,現(xiàn)計劃將矩形ABCD區(qū)域設(shè)計為可推拉的窗口.
(1)若窗口ABCD為正方形,且面積大于 m2(木條寬度忽略不計),求四根木條總長的取值范圍;
(2)若四根木條總長為6m,求窗口ABCD面積的最大值.
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【題目】從1到9這9個數(shù)字中取3個偶數(shù)和4個奇數(shù),試問:
(1)能組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)?
(2)在(1)中的七位數(shù)中,偶數(shù)排在一起,奇數(shù)也排在一起的有多少個?
(3)在(1)中任意2個偶數(shù)都不相鄰的七位數(shù)有多少個?
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線的直角坐標(biāo)方程為:,曲線的方程為,現(xiàn)建立以為極點,軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系.
(1)寫出直線極坐標(biāo)方程,曲線的參數(shù)方程;
(2)過點平行于直線的直線與曲線交于、兩點,若,求點軌跡的直角坐標(biāo)方程.
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