Question

已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=3x²-3ax，f（0）=b．a(chǎn)，b為實數(shù)，1＜a＜2．
（Ⅰ）若f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值、最大值分別為-2、1，求a、b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求經(jīng)過點P（2，1）且與曲線f（x）相切的直線l的方程；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)F（x）=（f′（x）+6x+1）•e^2x，試判斷函數(shù)F（x）的極值點個數(shù)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可確定f（x）的表達式，先確定函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上的單調(diào)性，從而確定了最值建立了關(guān)于a，b的方程，即可求得其值．（Ⅱ）由（Ⅰ）得到了函數(shù)的解析式，確定點P（2，1）的位置：在函數(shù)的圖象上，對P是否為切點討論，利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率，可得切線方程．（Ⅲ）先求出F'（x），通過對其符號的探討得函數(shù)的單調(diào)性，從而確定極值點的個數(shù)．

解答：解：（Ⅰ）由已知得，f(x)=x3-

3

2

ax2+b
由f'（x）=0，得x₁=0，x₂=a．∵x∈[-1，1]，1＜a＜2，
∴當(dāng)x∈[-1，0）時，f'（x）＞0，f（x）遞增；
當(dāng)x∈（0，1]時，f'（x）＜0，f（x）遞減．
∴f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值為f（0）=b，∴b=1．
又f(1)=1-

3

2

a+1=2-

3

2

a，f(-1)=-1-

3

2

a+1=-

3

2

a，
∴f（-1）＜f（1）．，即-

3

2

a=-2，得a=

4

3

．
故a=

4

3

，b=1為所求．

（Ⅱ）解：由（1）得f（x）=x³-2x²+1，f'（x）=3x²-4x，點P（2，1）在曲線f（x）上．
（1）當(dāng)切點為P（2，1）時，切線l的斜率k=f'（x）|_x=2=4，
∴l(xiāng)的方程為y-1=4（x-2），即4x-y-7=0．
（2）當(dāng)切點P不是切點時，設(shè)切點為Q（x₀，y₀）（x₀≠2），
切線l的斜率k=f′(x)|x=x0=3

x

2 0

-4x0，
∴l(xiāng)的方程為y-y₀=（3x₀²-4x₀）（x-x₀）．
又點P（2，1）在l上，∴1-y₀=（3x₀²-4x₀）（2-x₀），
∴1-（x₀³-2x₀²+1）=（3x₀²-4x₀）（2-x₀），
∴x₀²（2-x₀）=（3x₀²-4x₀）（2-x₀），
∴x₀²=3x₀²-4x₀，即2x₀（x₀-2）=0，∴x₀=0．∴切線l的方程為y=1．
故所求切線l的方程為4x-y-7=0或y=1．
（或者：由（1）知點A（0，1）為極大值點，
所以曲線f（x）的點A處的切線為y=1，恰好經(jīng)過點P（2，1），符合題意．）

（Ⅲ）解：F（x）=（3x²-3ax+6x+1）•e^2x=[3x²-3（a-2）x+1]•e^2x．
∴F'（x）=[6x-3（a-2）]•e^2x+2[3x²-3（a-2）x+1]•e^2x=[6x²-6（a-3）x+8-3a]•e^2x．
二次函數(shù)y=6x²-6（a-3）x+8-3a的判別式為△=36（a-3）²-24（8-3a）=12（3a²-12a+11）=12[3（a-2）²-1]，
令△≤0，得：(a-2)2≤

1

3

，2-

3

3

≤a≤2+

3

3

．
令△＞0，得a＜2-

3

3

，或a＞2+

3

3

．
∵e^2x＞0，1＜a＜2，
∴當(dāng)2-

3

3

≤a＜2時，F(xiàn)'（x）≥0，函數(shù)F（x）為單調(diào)遞增，極值點個數(shù)為0；
當(dāng)1＜a＜2-

3

3

時，此時方程F'（x）=0有兩個不相等的實數(shù)根，根據(jù)極值點的定義，可知函數(shù)F（x）有兩個極值點．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)在最大值，最小值中的應(yīng)用，學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值及極值，注意分類討論思想方法的體現(xiàn)．