Question

10．已知函數(shù)f（x）=xe^ax+lnx-e（a∈R），設(shè)g（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-e，若函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 令f（x）=g（x）化簡(jiǎn)得a=$\frac{-2lnx}{x}$，求出右側(cè)函數(shù)的單調(diào)性和極值，得出a的范圍．

解答 解：令f（x）=g（x）得xe^ax=$\frac{1}{x}$，即e^ax=$\frac{1}{{x}^{2}}$，∴a=$\frac{-2lnx}{x}$，
令h（x）=$\frac{-2lnx}{x}$，則h′（x）=$\frac{2lnx-2}{{x}^{2}}$，
∴當(dāng)0＜x＜e時(shí)，h′（x）＜0，當(dāng)x＞e時(shí)，h′（x）＞0，
∴h（x）在（0，e）上單調(diào)遞減，在（e，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=e時(shí)，h（x）取得最小值h（e）=-$\frac{2}{e}$，
且當(dāng)x＞1時(shí)，h（x）＜0，
∵f（x）與g（x）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴a=h（x）有兩解，
∴-$\frac{2}{e}$＜a＜0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷與極值計(jì)算，屬于中檔題．