【題目】設(shè)分別為橢圓的左右兩個(gè)焦點(diǎn).

（1）若橢圓上的點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和等于4，寫出橢圓的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）設(shè)點(diǎn)是（1)中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程；

（3）已知橢圓具有性質(zhì)：如果是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率都存在，并記為時(shí)，那么與之積是與點(diǎn)位置無關(guān)的定值，請(qǐng)給予證明.

【答案】(1)方程為,焦點(diǎn).(2) ；(3)答案見解析.

【解析】試題分析：（1）先利用橢圓的定義及點(diǎn)在橢圓上求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用幾何元素間的關(guān)系求出焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）利用相關(guān)點(diǎn)法求出動(dòng)點(diǎn)軌跡即可；（3）設(shè)，則，再設(shè)，利用點(diǎn)在橢圓上（， ）和斜率公式進(jìn)行求解.

試題解析：（1）橢圓的焦點(diǎn)在軸上，由橢圓上的點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和是4,得，即.

又點(diǎn)在橢圓上，因此，于是.

所以橢圓的方程為,焦點(diǎn).

（2）設(shè)橢圓上的動(dòng)點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)，∴.

因此，即為所求的軌跡方程.

（3）設(shè)，則，再設(shè)從而.

由在已知橢圓上，

故可解得， ，帶入中，

化簡(jiǎn)有.即與之之積是與點(diǎn)位置無關(guān)的定值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在學(xué)習(xí)過程中，我們通常遇到相似的問題.

（1）已知?jiǎng)狱c(diǎn)為圓： 外一點(diǎn)，過引圓的兩條切線、. 、為切點(diǎn)，若，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；

（2）若動(dòng)點(diǎn)為橢圓： 外一點(diǎn)，過引橢圓的兩條切線、. 、為切點(diǎn)，若，猜想動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么，請(qǐng)給出證明并求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員每場(chǎng)比賽得分的莖葉圖如圖所示，考慮以下結(jié)論：

甲

乙

8

0

4

3

3

6

6

8

3

8

9

1

1

2

3

4

5

2

5

1

4

0

5

4

6

9

1

6

7

9

①甲運(yùn)動(dòng)員得分的中位數(shù)大于乙運(yùn)動(dòng)員

得分的中位數(shù)；

②甲運(yùn)動(dòng)員得分的中位數(shù)小于乙運(yùn)動(dòng)員

得分的中位數(shù)；

③甲運(yùn)動(dòng)員得分的標(biāo)準(zhǔn)差大于乙運(yùn)動(dòng)員

得分的標(biāo)準(zhǔn)差；

④甲運(yùn)動(dòng)員得分的標(biāo)準(zhǔn)差小于乙運(yùn)動(dòng)員

得分的標(biāo)準(zhǔn)差；

其中根據(jù)莖葉圖能得到的正確結(jié)論的編號(hào)為(　　)

A. ①③ B. ①④

C. ②③ D. ②④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】《數(shù)學(xué)九章》中對(duì)已知三角形三邊長(zhǎng)求三角形的面積的求法填補(bǔ)了我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個(gè)空白，與著名的海倫公式完全等價(jià)，由此可以看出我國(guó)古代已具有很高的數(shù)學(xué)水平，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上．以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)．一為從隔，開平方得積．”若把以上這段文字寫成公式，即S= ．現(xiàn)有周長(zhǎng)為2 + 的△ABC滿足sinA：sinB：sinC=（ ﹣1）： ：（ +1），試用以上給出的公式求得△ABC的面積為（ ）
A.
B.
C.
D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】將的圖像向左平移個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像，則下列關(guān)于函數(shù)的說法中正確的個(gè)數(shù)是（ ）

① 函數(shù)的最小正周期是 ② 函數(shù)的一條對(duì)稱軸是

③函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)是 ④函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】函數(shù)在同一個(gè)周期內(nèi)，當(dāng)時(shí)y取最大值1，當(dāng)時(shí)，y取最小值﹣1．

（1）求函數(shù)的解析式y=f(x)；

（2）函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換可得到y=f(x)的圖象？

（3）若函數(shù)f（x）滿足方程f(x)=a（0＜a＜1），求在[0，2π]內(nèi)的所有實(shí)數(shù)根之和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在五面體中，已知平面，，，，．

（1）求證：；

（2）求三棱錐的體積．

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【題目】在中，已知,邊上的中線所在直線方程為，的角平分線所在直線的方程為。求

（1）求頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求的面積。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知命題 ： 表示雙曲線，命題 ： 表示橢圓。

（1）若命題與命題 都為真命題，則 是 的什么條件？

（請(qǐng)用簡(jiǎn)要過程說明是“充分不必要條件”、“必要不充分條件”、“充要條件”和“既不充分也不必要條件”中的哪一個(gè)）

（2）若 為假命題，且 為真命題，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.

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