Question

如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC=90°，BF=FC，H為BC的中點，
（1）求證：FH∥平面EDB；
（2）求證：AC⊥平面EDB；
（3）求四面體B-DEF的體積．

Answer 1

分析：（1）設(shè)AC與BD交于G，則G為AC的中點．連接EG，GH，通過證明四邊形EFGH是平行四邊形，證明FH∥平面EDB；
（2）通過證明AC⊥EG，AC⊥BD，EG∩BD=G，滿足直線與平面垂直的判定定理，即可證明AC⊥平面EDB；
（3）求出四面體B-DEF的高與底面面積，即可求解四面體的體積．

解答：解：（1）證明：設(shè)AC與BD交于G，則G為AC的中點．連接EG，GH，
由于H為BC的中點，故GH

∥

.

1

2

AB，又EF

∥

.

1

2

AB，
∴四邊形EFGH為平行四邊形，
∴FH∥平面EDB；
（2）證明：由四邊形ABCD是正方形，有AB⊥BC，又EF∥AB，
∴EF⊥BC，而EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC，
∴EF⊥FH，∴AB⊥FH，
又BF=FC，H為BC的中點，∴FH⊥BC，
∴FH⊥平面ABCD，∴FH⊥AC，又FH∥EG，∴AC⊥EG，
又AC⊥BD，EG∩BD=G
∴AC⊥平面EDB；
（3）解：∵EF⊥FB，∠BFC=90°，∴BF⊥平面CDEF，
∴BF為四面體B-DEF的高，
又BC=AB=2，∴BF=FC=

2

四面體B-DEF的體積．V_B-DEF=

1

3

×

1

2

×1×

2

×

2

=

1

3

．

點評：本題考查直線與平面平行的判定定理，直線與平面垂直的判定定理，幾何體的體積的求法，考查計算能力．