Question

14．設(shè)f（x）=cos²x+asinx-$\frac{a}{4}$-$\frac{1}{2}$（0≤x≤$\frac{π}{2}$），其中a＞0．
（1）用a表示f（x）的最大值M（a）；
（2）當(dāng)M（a）=2時(shí)，求a的值．

Answer 1

分析 （1）化f（x）為sinx的二次函數(shù)，設(shè)sinx=t，則函數(shù)g（t）是開(kāi)口向下，
對(duì)稱(chēng)軸為t=$\frac{a}{2}$的拋物線(xiàn)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)a討論求出函數(shù)最大值；
（2）由M（a）=2求出對(duì)應(yīng)的a值即可．

解答 解：（1）f（x）=cos²x+asinx-$\frac{a}{4}$-$\frac{1}{2}$
=（1-sin²x）+asinx-$\frac{a}{4}$-$\frac{1}{2}$
=-sin²x+asinx+$\frac{2-a}{4}$，
∵0≤x≤$\frac{π}{2}$，∴0≤sinx≤1；
設(shè)sinx=t，則
g（t）=-t²+at+$\frac{2-a}{4}$，t∈[0，1]；
∴f（x）的最大值為
M（a）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{4}a-\frac{1}{2}，a≥2}\\{{\frac{1}{4}a}^{2}-\frac{1}{4}a+\frac{1}{2}，0＜a＜2}\end{array}\right.$；
（2）當(dāng)M（a）=2時(shí)，
若a≥2，則$\frac{3}{4}$a-$\frac{1}{2}$=2，解得a=$\frac{10}{3}$；
若0＜a＜2，則$\frac{1}{4}$a²-$\frac{1}{4}$a+$\frac{1}{2}$=2，
解得a=-2或a=3，不合題意，舍去；
綜上，a的值是$\frac{10}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用和二次函數(shù)的性質(zhì)問(wèn)題，是中檔題．