Question

5．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=1，2S_n=a_n+1+n²-2n+1，n∈N^*．
（1）求a₂的值；
（2）求證數(shù)列{a_n-n+1}是等比數(shù)列；
（3）記b_n=n（a_n+1-3^n-1），證明：對一切正整數(shù)n，有$\frac{1}{b_1}$+$\frac{1}{b_2}$+$\frac{1}{b_3}$+…+$\frac{1}{b_n}$＜$\frac{7}{4}$．

Answer 1

分析 （1）由a₁=1，2S_n=a_n+1+n²-2n+1，n∈N^*．令n=1可得，2a₁=a₂+1-2+1，解得a₂．
（2）2S_n=a_n+1+n²-2n+1，可得n≥2時，2S_n-1=a_n+（n-1）²-2（n-1）+1，
相減可得：a_n+1=3a_n-2n+3，變形為：a_n+1-（n+1）+1=3（a_n-n+1），驗證n=1時也成立，即可證明．
（3）由（2）可得：a_n-n+1=3^n-1，可得b_n=n（a_n+1-3^n-1）=n²，n≥3時，$\frac{1}{_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$≤$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$．即可證明．

解答 （1）解：∵a₁=1，2S_n=a_n+1+n²-2n+1，n∈N^*．∴2a₁=a₂+1-2+1，∴a₂=2．
（2）證明：∵2S_n=a_n+1+n²-2n+1，∴n=2時，2×（1+2）=a₃+1，解得a₃=5．
n≥2時，2S_n-1=a_n+（n-1）²-2（n-1）+1，
相減可得：a_n+1=3a_n-2n+3，
變形為：a_n+1-（n+1）+1=3（a_n-n+1），n=1時，5-2+1=3+1成立．
∴數(shù)列{a_n-n+1}是等比數(shù)列，公比為3，首項為1．
（3）證明：由（2）可得：a_n-n+1=3^n-1，
∴b_n=n（a_n+1-3^n-1）=n²，
∴n≥3時，$\frac{1}{_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$≤$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$．
對一切正整數(shù)n，有$\frac{1}{b_1}$+$\frac{1}{b_2}$+$\frac{1}{b_3}$+…+$\frac{1}{b_n}$＜1+$\frac{1}{4}$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$=$\frac{7}{4}$-$\frac{1}{n}$＜$\frac{7}{4}$．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式、不等式的性質(zhì)、數(shù)列遞推關(guān)系、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．