Question

已知二次函數(shù)f（x）滿足：①當(dāng)x=1時(shí)有極值；②圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣3，且在該點(diǎn)處的切線與直線x=2y﹣4垂直．
（1）求f（1）的值；
（2）若函數(shù)g（x）=f（lnx），x∈（1，+∞）上任意一點(diǎn)處的切線斜率恒大于a²﹣a﹣2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（I）-4；（II）0≤a≤1．

解析試題分析：（1）由已知可利用待定系數(shù)法，首先設(shè)二次函數(shù)f（x）的解析式為：f（x）=ax²+bx+c，，結(jié)合已知的兩個(gè)條件及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出f（x）的表達(dá)式，從而可求f（1）的值；
（2）首先求出g（x）的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，結(jié)合一元二次不等式的解法即可得到結(jié)論．
試題解析：（1）設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，
∵x=1時(shí)有極值，∴對(duì)稱軸為1，即，
由②知f（0）=c=-3，在（0，-3）處的切線斜率，
又在該點(diǎn)處的切線與直線x=2y-4垂直，故b=-2，
解得a=1，則f（x）=x²-2x-3，
則f（1）=-4；
（2）若函數(shù)g（x）=f（lnx）=（lnx）²-2lnx-3，
令t=lnx，
則∵x∈（1，+∞），∴t∈（0，+∞），
∴f（t）=t2-2t-3，f′（t）=2t-2＞-2，
若函數(shù)g（x）=f（lnx），x∈（1，+∞）上任意一點(diǎn)處的切線斜率恒大于a²-a-2，
則f′（t）＞a2-a-2恒成立，即a2-a-2≤-2，
即a2-a≤0，解得0≤a≤1．
考點(diǎn)：１．二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)；2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義．