Question

在拋物線y²=4x上恒有兩點(diǎn)關(guān)于直線l：y=kx+3則對稱，k的取值范圍是（　�。�

• A、-1＜k＜0
• B、0＜k＜1
• C、-1≤k≤0
• D、0≤k≤1

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：在拋物線y²=4x上恒有兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）關(guān)于直線l：y=kx+3對稱，則直線l垂直平分AB，AB中點(diǎn)M（x，y）在直線y=kx+3上，由此利用點(diǎn)差法得AB斜率k_AB=

y1-y2

x1-x2

=

4

y1+y2

=

2

y

．由直線AB和y=kx+3垂直，得-

1

k

=

2

y

，又y=kx+3聯(lián)立得到x=

-2k-3

k

，y=-2k，由此能求出-1＜k＜0．

解答： 解：在拋物線y²=4x上恒有兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）關(guān)于直線l：y=kx+3對稱，
則直線l垂直平分AB，AB中點(diǎn)M（x，y）在直線y=kx+3上
2x=x₁+x₂ 2y=y₁+y₂
y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，相減有（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂）
所以AB斜率k_AB=

y1-y2

x1-x2

=

4

y1+y2

=

2

y

．
∵直線AB和y=kx+3垂直，
-

1

k

=

2

y

，又y=kx+3
聯(lián)立得到x=

-2k-3

k

，y=-2k，
該點(diǎn)在拋物線內(nèi)
即y²＜4x，
∴4k²＜

4

k

（-2k-3），∴

1

k

（k+1）（k²-k+3）＜0
解得-1＜k＜0．
故選：A．

點(diǎn)評：本題考查直線的斜率的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要注意拋物線性質(zhì)、對稱性、點(diǎn)差法的合理運(yùn)用．