Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是BC₁與B₁C的交點(diǎn)．
（1）求直線AO與直線C₁D₁所成角的余弦值；
（2）求直線AO與平面BCC₁B₁所成角的正弦值；
（2）求二面角D-AC-B₁的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,異面直線及其所成的角,直線與平面所成的角

專題：空間角

分析：（1）設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線AO與直線C₁D₁所成角的余弦值．
（2）求出平面BCC₁B₁的法向量和

AO

，利用向量法能求出直線AO與平面BCC₁B₁所成角的正弦值．
（3）求出平面ACB₁的法向量和平面ACD的法向量，利用向量法能求出二面角D-AC-B₁的正切值．

解答： 解：（1）設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，
以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（2，0，0），O（1，2，1），
C₁（0，2，2），D₁（0，0，2），

AO

=（-1，2，1），

C1D1

=（0，-2，0），
|cos＜

AO

，

C1D1

＞|=|

-4

6 •2

|=

6

3

．
∴直線AO與直線C₁D₁所成角的余弦值為

6

3

．（4分）
（2）∵平面BCC₁B₁的法向量

n

=(0，1，0)，

AO

=（-1，2，1），
設(shè)直線AO與平面BCC₁B₁所成角為θ，
sinθ=|cos＜

AO

，

n

＞|=|

2

6

|=

6

3

．
∴直線AO與平面BCC₁B₁所成角的正弦值

6

3

．（8分）
（3）A（2，0，0），C（0，2，0），B₁（2，2，2），

AC

=（-2，2，0），

AB1

=（0，2，2），
設(shè)平面ACB₁的法向量

m

=（x，y，z），
則

m • AC =-2x+2y=0 m • AB1 =2y+2z=0

，
取x=1，得

m

=（1，1，-1），
又平面ACD的法向量

p

=（0，0，1），
設(shè)二面角D-AC-B₁的平面角為α，α為鈍角，
∴cosα=-|cos＜

m

，

p

＞|=-|

-1

3

|=-

3

3

，
∴tanα=-

2

，
∴二面角D-AC-B₁的正切值為-

2

．（14分）

點(diǎn)評：本題考查直線與直線所成角的余弦值的求法，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，考查二面角的正切值的求法，解題時(shí)要注意向量法的合理運(yùn)用．