Question

8．曲線f（x）=x²+lnx上任意一點(diǎn)的切線為l₁，曲線g（x）=e^x-ax上總有一條切線l₂與l₁平行，則a的取值范圍是（　　）

• A． $（-2\sqrt{2}，2\sqrt{2}）$
• B． $（-∞，-2\sqrt{2}）$
• C． $（-2\sqrt{2}，+∞）$
• D． $[-2\sqrt{2}，2\sqrt{2}]$

Answer 1

分析 分別求得f（x），g（x）的導(dǎo)數(shù)，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）分別是曲線f（x），g（x）上的點(diǎn)，求得切線的斜率，由兩直線平行的條件可得切線的斜率相等，運(yùn)用基本不等式和指數(shù)函數(shù)的值域可得最值，進(jìn)而得到a的范圍．

解答 解：f（x）=x²+lnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2x+$\frac{1}{x}$，g（x）=e^x-ax的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=e^x-a，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）分別是曲線f（x），g（x）上的點(diǎn)，
所以在M，N處的切線的斜率為${k_1}=2{x_1}+\frac{1}{x_1}$，${k_2}={e^{x_2}}-a$，
由已知可得k₁=k₂，即$2{x_1}+\frac{1}{x_1}={e^{x_2}}-a$對(duì)?x₁＞0有解．
而$2{x_1}+\frac{1}{x_1}≥2\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)x₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$處取得等號(hào)，
所以$h（x）={e^{x_2}}-a$最小值$h{（x）_{min}}≤2\sqrt{2}$，
即$-a＜2\sqrt{2}$，
所以$a＞-2\sqrt{2}$，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上的某點(diǎn)的切線方程，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，解答此題的關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為最值間的關(guān)系求解，是中檔題．