Question

19．已知等差數(shù)列{a_n}中，S_n為其前n項和，a₂+a₆=6，S₃=5．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）令${b_n}=\frac{1}{{{a_{n-1}}{a_n}}}（{n≥2}），{b_1}=3，{T_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}$，若T_n＜m對一切n∈N^*都成立，求m的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，根據(jù)題意可得$\left\{{\begin{array}{l}{2{a_1}+6d=6}\\{3{a_1}+3d=5}\end{array}}\right.$，解得即可，
（Ⅱ）根據(jù)裂項求和即可得到S_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{9}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$），即可求出m的值．

解答 解：（Ⅰ） 設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由a₂+a₆=6，S₃=5得$\left\{{\begin{array}{l}{2{a_1}+6d=6}\\{3{a_1}+3d=5}\end{array}}\right.$，
解得a₁=1，d=$\frac{2}{3}$，
∴a_n=$\frac{2}{3}$n+$\frac{1}{3}$．
（Ⅱ）當n≥2時，b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{（\frac{2}{3}n+\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}n-\frac{1}{3}）}$=$\frac{9}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
當n=1時，上式同樣成立，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=$\frac{9}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{9}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$），
又$\frac{9}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）隨n遞增，且$\frac{9}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）＜$\frac{9}{2}$•1≤m，
又m∈N^*，∴m≥5，
∴m的最小值為5

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查滿足條件的最小正整數(shù)的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．