Question

9．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^3}+3{x^2}，x≤1\\ x+\frac{16}{x}-15，x＞1\end{array}\right.$，則f（x）的最小值為-7．

Answer 1

分析 當(dāng)x≤1時，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)最值的關(guān)系即可求出最小值，當(dāng)x＞1時，利用基本不等式即可求出最小值，比較即可得到函數(shù)的最小值．

解答 解：當(dāng)x≤1時，f′（x）=-3x²+6x=-3x（x-2），
令f′（x）=0，解得x=0或x=2（舍去），
當(dāng)f′（x）＞0，即0＜x≤1時，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（x）＜0，即x＜0時，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以當(dāng)x=0時，f（x）_min=f（0）=0，
當(dāng)x＞1時，f（x）=x+$\frac{16}{x}$-15≥2$\sqrt{16}$-15=-7，當(dāng)且僅當(dāng)x=4時取等號，
故函數(shù)的最小值為-7，
故答案為：-7．

點(diǎn)評 本題考查了分段函數(shù)和函數(shù)最值的求法，基本不等式和導(dǎo)數(shù)是求最值的方法，屬于中檔題．