Question

已知f（x）=2xlnx，g（x）=-x²+ax-3．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小值；
（Ⅱ）若存在x∈（0，+∞），使f（x）≤g（x）成立，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）證明對一切x∈（0，+∞），都有f(x)＞2(

x

ex

-

2

e

)成立．

Answer 1

分析：（I）函數f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=2lnx+2，令f′（x）=0，解得x=

1

e

．再驗證是否滿足函數取得極小值的條件即可．
（II）存在x∈（0，+∞），使f（x）≤g（x）成立，即2xlnx≤-x²+ax-3存在x∈（0，+∞）能成立．?a≥2lnx+x+

3

x

存在x∈（0，+∞）能成立，?a≥(2lnx+x+

3

x

)min．令h（x）=2lnx+x+

3

x

，利用導數研究其單調性極值最值即可．
（III）令u(x)=2(

x

ex

-

2

e

)，利用導數研究其最大值，再利用（I）的結論即可．

解答：解：（I）函數f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=2lnx+2，令f′（x）=0，解得x=

1

e

．
當x∈(0，

1

e

)時，f′（x）＜0，此時函數單調遞減；當x∈(

1

e

，+∞)時，f′（x）＞0，此時函數單調遞增．
故當x=

1

e

時，函數f（x）取得極小值即最小值為-

2

e

．
（II）存在x∈（0，+∞），使f（x）≤g（x）成立，即2xlnx≤-x²+ax-3存在x∈（0，+∞）能成立．
?a≥2lnx+x+

3

x

存在x∈（0，+∞）能成立，?a≥(2lnx+x+

3

x

)min．
令h(x)=2lnx+x+

3

x

，則h′(x)=

2

x

+1-

3

x2

=

(x+3)(x-1)

x2

．
當x∈（0，1）時，h′（x）＜0，此時函數h（x）單調遞減；當x∈（1，+∞）時，h′（x）＞0，此時函數h（x）單調遞增．
∴當x=1時，h（x）取得最小值4．因此a≥4．
（III）令u(x)=2(

x

ex

-

2

e

)，則u′（x）=

2(1-x)

ex

．
令u′（x）=0，解得x=1；當x∈（0，1）時，u′（x）＞0，函數u（x）單調遞增；當x∈（1，+∞）時，u′（x）＜0，函數u（x）單調遞減．
∴當x=1時，函數u（x）取得最大值-

2

e

．
故對一切x∈（0，+∞），都有f(x)＞2(

x

ex

-

2

e

)成立．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值、存在性問題的等價轉化等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．