Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）判斷f（x）的奇偶性，說明理由；

（2）當x＞0時，判斷f（x）的單調(diào)性并加以證明；

（3）若f（2t）-mf（t）＞0對于t∈（0，+∞）恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）偶函數(shù)，理由見解析；（2）在上是增函數(shù)，證明見解析；（3）.

【解析】

(1)利用與的關(guān)系,結(jié)合定義域判斷奇偶性,即可得出答案.(2)換元法,轉(zhuǎn)化成對勾函數(shù),結(jié)合對勾函數(shù)性質(zhì),即可.(3)代入的解析式,建立關(guān)于s的新函數(shù)，結(jié)合該函數(shù)單調(diào)性，計算最值，即可得出答案。

（1）∵函數(shù)f（x）=3x+，定義域R，關(guān)于原點對稱，

且對一切x∈R，都有f（-x）=3-x+=+3x=f（x）成立，

∴f（x）是偶函數(shù)．

綜上所述：f（x）是偶函數(shù)．

（2）函數(shù)f（x）=3x+在（0，+∞）上是增函數(shù)，

令3x=t，當x＞0時，t＞30=1，則y=g(t)=t+，

設(shè)1<t1＜t2，

g（t1）-g（t2）=（t1+）-（t2+）=（t1t2-1），

又由a∈（0，）且1<t1＜t2，

則＜0，t1t2-1>0，

則g（t1）-g（t2）<0，

函數(shù)y=t+在t∈（1，+∞）上是增函數(shù)，

即函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．

（3）∵函數(shù)f（x）=3x+，

∴f（2t）-mf（t）＞0對于t∈（0，+∞）恒成立，

等價于：m（3t+）＜32t+對于t∈（0，+∞）恒成立，

即m（3t+）＜（3t+）2-2對于t∈（0，+∞）恒成立，

∵3t+＞0，∴m＜3t+-對于t∈（0，+∞）恒成立，

令3t+=s，∵t∈（0，+∞），

∴由（2）知：s＞2，則m＜s-對于s∈（2，+∞）恒成立，

記y=s-，在s∈（2，+∞）上是增函數(shù)，

∴y＞2-=1，

∴m≤1

即m的取值范圍為（-∞，1]，

綜上所述：m的取值范圍是（-∞，1]．