Question

如圖，四邊形ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，F(xiàn)是線段BC的中點．
（1）證明：PF⊥FD；
（2）若PB與平面ABCD所成的角為45°，求異面直線PB與DF所成角．

Answer 1

分析：（1）連接AF，在△ADF中利用勾股定理的逆定理，得AF⊥DF，結(jié)合PA⊥平面ABCD，得PA⊥DF，利用線面垂直的判定定理，可證出DF⊥平面PAF，所以有PF⊥FD成立；
（2）取AD中點E，連接PE、BE．平行四邊形BEDF中，BE∥DF，可得∠PBE或其補(bǔ)角是異面直線PB與DF所成的角．根據(jù)PB與平面ABCD所成的角為45°，可得△PAB是等腰直角三角形，從而PB=

2

，同理BE=

2

，PE=

2

，得到△PBE是邊長等于

2

的等邊三角形，故∠PBE=60°，所以異面直線PB與DF所成的角等于60°．

解答：解：（1）連接AF，
∵PA⊥平面ABCD，DF⊆平面ABCD，∴PA⊥DF
∵Rt△ABF中，AB=BF=1，∴AF=

AB2+BF2

=

2

，同理可得DF=

2

∴△ADF中，AF²+DF²=4=AD²，可得AF⊥DF
∵AF、PA是平面PAF內(nèi)的相交直線，∴DF⊥平面PAF
∵PF?平面PAF，
∴PF⊥FD
（2）取AD中點E，連接PE、BE
∵DE∥BF且DE=BF=

1

2

AB
∴四邊形BEDF是平行四邊形
所以BE∥DF，可得∠PBE或其補(bǔ)角是異面直線PB與DF所成的角．
∵PA⊥平面ABCD，∴AB是PB在平面ABCD內(nèi)的射影，可得∠PBA是PB與平面ABCD所成的角
∴Rt△PAB中，∠PBA=45°，可得PA=AB=1，PB=

2

AB=

2

又∵Rt△EAB中，AB=AE=1，
∴BE=

AB2+AE2

=

2

，同理PE=

2

∴△PBE是邊長等于

2

的等邊三角形，故∠PBE=60°
因此，異面直線PB與DF所成的角等于60°．

點評：本題借助于一個特殊的四棱錐，求證線面垂直并且求異面直線所成角，著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、異面直線所成角的定義及其求法等知識，屬于基礎(chǔ)題．