Question

9．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2p{t}^{2}}\\{y=2pt}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，p＞0），在極坐標(biāo)系（以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，曲線C₂：ρ²-10ρcosθ+16=0，已知斜率為1的直線l與C₁相交于A，B兩點(diǎn)，與C₂相切于點(diǎn)M，且M為線段AB的中點(diǎn)．則p的值為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程化為普通方程，利用點(diǎn)差法，求出M的坐標(biāo)，代入圓的方程，即可求出p的值．

解答 解：曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2p{t}^{2}}\\{y=2pt}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，p＞0），普通方程為y²=2px，
曲線C₂：ρ²-10ρcosθ+16=0，普通方程為（x-5）²+y²=9，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），則y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
相減得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=2p（x₁-x₂），
當(dāng)l的斜率=1時(shí)，利用點(diǎn)差法可得y₀=p，
因?yàn)橹本�與圓相切，所以$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-5}$=-1，所以x₀=5-p，
∴M（5-p，p）
代入（x-5）²+y²=9，∴p=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
故答案為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三種方程的轉(zhuǎn)化，考查點(diǎn)差法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．