設(shè)函數(shù)f(x)=
3
2
-
3
sin2ωx-sinωx•cosωx(ω>0),且y=f(x)的圖象的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為
π
4

(1)求?的值;
(2)求f(x)在區(qū)間[0,
π
2
]上的最大值與最小值.
考點:三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的最值
專題:計算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)
分析:(Ⅰ)通過二倍角的正弦函數(shù)與余弦函數(shù)化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式,利用函數(shù)的正確求出ω的值;
(Ⅱ)通過x 的范圍求出相位的范圍,利用正弦函數(shù)的值域與單調(diào)性直接求解f(x)在區(qū)間[0,
π
2
]上的最大值和最小值.
解答: 解:(Ⅰ)函數(shù)f(x)=
3
2
-
3
sin2ωx-sinωxcosωx
=
3
2
-
3
1-cos2ωx
2
-
1
2
sin2ωx
=
3
2
cos2ωx-
1
2
sin2ωx
=-sin(2ωx-
π
3
).
因為y=f(x)的圖象的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為
π
4
,故周期為π
又ω>0,所以
=4×
π
4
,解得ω=1;
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,f(x)=-sin(2x-
π
3
),
當(dāng)0≤x≤
π
2
時,-
π
3
≤2x-
π
3
3
,
所以-
3
2
≤sin(2x-
π
3
)≤1,
因此,-1≤f(x)≤
3
2

所以f(x)在區(qū)間[]上的最大值和最小值分別為:
3
2
,-1.
點評:本題考查二倍角的三角函數(shù)以及兩角和的正弦函數(shù),三角函數(shù)的周期,正弦函數(shù)的值域與單調(diào)性的應(yīng)用,考查計算能力,屬于中檔題.
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π
6
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3
6
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3
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①如果對于任意x1、x2∈A,x1≠x2,都有f(
x1+x2
2
)<
1
2
[f(x1)+f(x2)],則稱函數(shù)f(x)是凹函數(shù).
②如果對于任意x1、x2∈A,x1≠x2,都有f(
x1+x2
2
)>
1
2
[f(x1)+f(x2)],則稱函數(shù)f(x)是凸函數(shù).
(1)判斷函數(shù)y=x2是凹函數(shù)還是凸函數(shù),并加以證明;
(2)判斷函數(shù)f(x)=log2x是凹函數(shù)還是凸函數(shù),并加以證明.

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3
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