Question

9．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，|BC|=4，|AC|=3，一曲線E過點(diǎn)A，動(dòng)點(diǎn)P在曲線E運(yùn)動(dòng)，且保持|PC|+|PB|的值不變．
（Ⅰ）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線E的方程；
（Ⅱ）若直線l交曲線E于M、N兩點(diǎn)，曲線E與y軸正半軸交于Q點(diǎn)，且△QMN的重心恰好為B點(diǎn)，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （I）由橢圓定義可知E為以B，C為焦點(diǎn)的橢圓，利用待定系數(shù)法求出橢圓方程；
（II）求出Q的坐標(biāo)，設(shè)M，N坐標(biāo)，利用重心坐標(biāo)公式得出M，N坐標(biāo)的關(guān)系求出MN中點(diǎn)，代入橢圓方程化簡(jiǎn)得出直線l的斜率，從而得出直線l的方程．

解答 解：（I）以CB所在直線為x軸，CB中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，
∵∠ACB=90°，|BC|=4，|AC|=3，∴AB=5．
設(shè)P（x，y）．則|PC|+|PB|=|AC|+|AB|=8．
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以B，C為焦點(diǎn)的橢圓，
設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，
則c=|OB|=2，a=$\frac{|PA|+|PB|}{2}$=4，∴b²=a²-c²=12．
∴曲線E的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1．
（II）B（2，0），Q（0，2$\sqrt{3}$），設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∵△QMN的重心為B點(diǎn)．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+0}{3}=2}\\{\frac{{y}_{1}+{y}_{2}+2\sqrt{3}}{3}=0}\end{array}\right.$，則$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=6}\\{{y}_{1}+{y}_{2}=-2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴MN的中點(diǎn)為（3，-$\sqrt{3}$）．
∵$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{16}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{12}=1}\\{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{16}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，兩式相減的得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{16}+\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{12}=0$，
即$\frac{3（{x}_{1}-{x}_{2}）}{8}-\frac{\sqrt{3}（{y}_{1}-{y}_{2}）}{6}=0$，∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．即直線l的斜率為$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
∴直線l方程為y+$\sqrt{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$（x-3），即3$\sqrt{3}$x-4y-13$\sqrt{3}$=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義，直線與橢圓的關(guān)系，屬于中檔題．