Question

17．若直線 2ax-by+2=0 （a＞0，b＞0）被圓 x²+y²+2x-4y+1=0 截得的弦長(zhǎng)為4，則$\frac{2}{a}+\frac{3}$的最小值是（　�。�

• A． 5
• B． 6
• C． $5+2\sqrt{6}$
• D． $6+2\sqrt{6}$

Answer 1

分析 由已知條件得出直線2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）經(jīng)過(guò)圓心，從而得出關(guān)于a、b的關(guān)系式，再利用基本不等式的性質(zhì)即可求出．

解答 解：由圓x²+y²+2x-4y+1=0化為（x+1）²+（y-2）²=4，可知圓心C（-1，2），半徑r=2．
∵直線2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圓x²+y²+2x-4y+1=0截得的弦長(zhǎng)為4，
∴此直線經(jīng)過(guò)圓心（-1，2）
∴-2a-2b+2=0，化為a+b=1．
∴$\frac{2}{a}+\frac{3}$=（a+b）（$\frac{2}{a}+\frac{3}$）=5+$\frac{2b}{a}$+$\frac{3a}$≥5+2$\sqrt{6}$，當(dāng)且僅當(dāng)a+b=1，$\frac{2b}{a}$=$\frac{3a}$，即a=$\sqrt{6}$-2，b=3-$\sqrt{6}$時(shí)取等號(hào)．
∴$\frac{2}{a}+\frac{3}$的最小值是5+2$\sqrt{6}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 熟練掌握直線與圓相交問(wèn)題的弦長(zhǎng)問(wèn)題和基本不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．