已知在區(qū)間上是增函數(shù),實(shí)數(shù)a組成幾何A,設(shè)關(guān)于x的方程的兩個(gè)非零實(shí)根,實(shí)數(shù)m使得不等式使得對(duì)任意恒成立,則m的解集是(    )

A. B.
C. D.

A

解析試題分析:∵f(x)在[-1,1]上是增函數(shù),
∴f'(x)≥0對(duì)x∈[-1,1]恒成立,
即x2-ax-2≤0對(duì)x∈[-1,1]恒成立.①
設(shè)φ(x)=x2-ax-2,
方法一:①?φ(1)=1-a-2≤0且φ(-1)=1+a-2≤0?-1≤a≤1,
∵對(duì)x∈[-1,1],f(x)是連續(xù)函數(shù),且只有當(dāng)a=1時(shí),f'(-1)=0以及當(dāng)a=-1時(shí),f'(1)=0
∴A={a|-1≤a≤1}.
方法二:
①?,φ(-1)=1+a-2≤0或,φ(1)=1-a-2≤0?0≤a≤1或-1≤a≤0
?-1≤a≤1.
∵對(duì)x∈[-1,1],f(x)是連續(xù)函數(shù),且只有當(dāng)a=1時(shí),f'(-1)=0以及當(dāng)a=-1時(shí),f'(1)=0
∴A={a|-1≤a≤1}.
=,得x2-ax-2=0,∵△=a2+8>0,∴x1,x2是方程x2-ax-2=0的兩非零實(shí)根,x1+x2=a,x1x2=-2,從而|x1-x2|===∵-1≤a≤1,∴|x1-x2|=≤3.
要使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|對(duì)任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,
當(dāng)且僅當(dāng)m2+tm+1≥3對(duì)任意t∈[-1,1]恒成立,
即m2+tm-2≥0對(duì)任意t∈[-1,1]恒成立.②
設(shè)g(t)=m2+tm-2=mt+(m2-2),
方法一:
②?g(-1)=m2-m-2≥0,g(1)=m2+m-2≥0,
?m≥2或m≤-2.
所以,存在實(shí)數(shù)m,使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|對(duì)任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,其取值范圍是{m|m≥2,或m≤-2}.
方法二:
當(dāng)m=0時(shí),②顯然不成立;
當(dāng)m≠0時(shí),
②?m>0,g(-1)=m2-m-2≥0或m<0,g(1)=m2+m-2≥0
?m≥2或m≤-2.
所以,存在實(shí)數(shù)m,使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|對(duì)任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,其取值范圍是{m|m≥2,或m≤-2}.
考點(diǎn):本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和不等式等有關(guān)知識(shí),考查數(shù)形結(jié)合及分類討論思想和靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力。
點(diǎn)評(píng):解決該試題的關(guān)鍵是根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系寫出不等式先看成關(guān)于a的不等式恒成立再看成關(guān)于t的一次不等式恒成立,讓兩端點(diǎn)大等于零,以及函數(shù)單調(diào)遞增導(dǎo)數(shù)大于等于零列出不等式解之

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

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定義在R上的偶函數(shù)滿足:對(duì)任意的,有,則(  )

A. B.
C. D.

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已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),當(dāng)時(shí),,那么函數(shù)
的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(      )

A.一定是2 B.一定是3 C.可能是2也可能是3 D.可能是0

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定義在上的奇函數(shù)對(duì)任意都有,當(dāng) 時(shí),,則的值為(     )

A.B.C.2D.

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已知定義在上的函數(shù)滿足,當(dāng)時(shí),,若函數(shù)至少有6個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍是    (      )

A.B.
C.D.

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如圖所示,函數(shù)的圖像大致為           (   )

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函數(shù)是偶函數(shù),它在上是減函數(shù).若,則的取值范圍是

A. B.
C. D.

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函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是(     )

A. B. C. D.

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函數(shù)的定義域?yàn)椋?nbsp;  )

A.B.C.D.

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