如圖,P-ABC是底面邊長為1的正三棱錐,D、E、F分別為棱長PA、PB、PC上的點(diǎn),截面DEF∥底面ABC,且棱臺DEF-ABC與棱錐P-ABC的棱長和相等.(棱長和是指多面體中所有棱的長度之和)
(1)證明:P-ABC為正四面體;
(2)若PD=PA=求二面角D-BC-A的大。唬ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示)
(3)設(shè)棱臺DEF-ABC的體積為V,是否存在體積為V且各棱長均相等的直平行六面體,使得它與棱臺DEF-ABC有相同的棱長和?若存在,請具體構(gòu)造出這樣的一個(gè)直平行六面體,并給出證明;若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)利用已知條件證明DE=EF=FD=PD=OE=PF,∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°,從而證明P-ABC為正四面體;
(2)PD=PA=取BC的中點(diǎn)M,連拉PM,DM.AM.說明∠DMA為二面角D-BC-A的平面角.
解三角形DMA求二面角D-BC-A的大;(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)
(3)存在滿足條件的直平行六面體.設(shè)直平行六面體的棱長均為,底面相鄰兩邊夾角為α,
利用該六面體棱長和為6,體積為sinα=V.求出α=arcsim(8V)底面相鄰兩邊夾角為arcsim(8V)的直平行六面體即滿足要求
解答:證明:(1)∵棱臺DEF-ABC與棱錐P-ABC的棱長和相等,
∴DE+EF+FD=PD+OE+PF.
又∵截面DEF∥底面ABC,
∴DE=EF=FD=PD=OE=PF,∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°,∴P-ABC是正四面體.
解:(2)取BC的中點(diǎn)M,連拉PM,DM.AM.
∵BC⊥PM,BC⊥AM,∴BC⊥平面PAM,BC⊥DM,
則∠DMA為二面角D-BC-A的平面角.
由(1)知,P-ABC的各棱長均為1,
∴PM=AM=,由D是PA的中點(diǎn),得
sin∠DMA=,∴∠DMA=arcsin
(3)存在滿足條件的直平行六面體.
棱臺DEF-ABC的棱長和為定值6,體積為V.
設(shè)直平行六面體的棱長均為,底面相鄰兩邊夾角為α,
則該六面體棱長和為6,體積為sinα=V.
∵正四面體P-ABC的體積是,∴0<V<,0<8V<1.可知α=arcsim(8V)
故構(gòu)造棱長均為,底面相鄰兩邊夾角為arcsim(8V)的直平行六面體即滿足要求.
點(diǎn)評:本題考查棱柱、棱錐、棱臺的體積,平面與平面平行的性質(zhì),二面角及其度量,考查空間想象能力,邏輯思維能力,是中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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(1)證明:P-ABC為正四面體;
(2)若PD=PA=
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求二面角D-BC-A的大。唬ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示)
(3)設(shè)棱臺DEF-ABC的體積為V,是否存在體積為V且各棱長均相等的直平行六面體,使得它與棱臺DEF-ABC有相同的棱長和?若存在,請具體構(gòu)造出這樣的一個(gè)直平行六面體,并給出證明;若不存在,請說明理由.

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(2)若PD=PA=數(shù)學(xué)公式求二面角D-BC-A的大。唬ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示)
(3)設(shè)棱臺DEF-ABC的體積為V,是否存在體積為V且各棱長均相等的直平行六面體,使得它與棱臺DEF-ABC有相同的棱長和?若存在,請具體構(gòu)造出這樣的一個(gè)直平行六面體,并給出證明;若不存在,請說明理由.

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