證明:(1)∵棱臺DEF-ABC與棱錐P-ABC的棱長和相等,
∴DE+EF+FD=PD+OE+PF.
又∵截面DEF∥底面ABC,
∴DE=EF=FD=PD=OE=PF,∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°,∴P-ABC是正四面體.
解:(2)取BC的中點M,連拉PM,DM.AM.
∵BC⊥PM,BC⊥AM,∴BC⊥平面PAM,BC⊥DM,
則∠DMA為二面角D-BC-A的平面角.
由(1)知,P-ABC的各棱長均為1,
∴PM=AM=
,由D是PA的中點,得
sin∠DMA=
,∴∠DMA=arcsin
.
(3)存在滿足條件的直平行六面體.
棱臺DEF-ABC的棱長和為定值6,體積為V.
設直平行六面體的棱長均為
,底面相鄰兩邊夾角為α,
則該六面體棱長和為6,體積為
sinα=V.
∵正四面體P-ABC的體積是
,∴0<V<
,0<8V<1.可知α=arcsim(8V)
故構造棱長均為
,底面相鄰兩邊夾角為arcsim(8V)的直平行六面體即滿足要求.
分析:(1)利用已知條件證明DE=EF=FD=PD=OE=PF,∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°,從而證明P-ABC為正四面體;
(2)PD=PA=
取BC的中點M,連拉PM,DM.AM.說明∠DMA為二面角D-BC-A的平面角.
解三角形DMA求二面角D-BC-A的大;(結果用反三角函數(shù)值表示)
(3)存在滿足條件的直平行六面體.設直平行六面體的棱長均為
,底面相鄰兩邊夾角為α,
利用該六面體棱長和為6,體積為
sinα=V.求出α=arcsim(8V)底面相鄰兩邊夾角為arcsim(8V)的直平行六面體即滿足要求
點評:本題考查棱柱、棱錐、棱臺的體積,平面與平面平行的性質,二面角及其度量,考查空間想象能力,邏輯思維能力,是中檔題.